Exercice de mécanique à propos d'un accident de voiture

Thèmes abordés

Sciences - Ingénierie - Industrie, Exercice de mécanique, accident de voiture, énoncé, correction, angle, masse, vitesse, loi de Newton, projection vectorielle, triangle rectangle, application numérique

Résumé du document

Par un jour d'hiver, les chaussées sont glissantes et on suppose que les véhicules qui s'y déplacent sont des solides pseudo-isolés. Deux automobilistes se heurtent au croisement de deux routes rectilignes formant un angle... Le premier véhicule de masse M1 roulait à une vitesse v1. Le deuxième véhicule de masse M2 se déplaçait à une vitesse...

Extraits

[...] Exprimer la vitesse du deuxième véhicule en fonction de ,α, β, et &v. En déduire l'expression de lorsque β=90° . Calculer la vitesse que doit avoir la voiture 2 pour imposer sa direction initiale à la direction prise par l'ensemble des deux voitures lors de l'accrochage. Ce résultat est-il cohérent ? [...]

[...] Exprimer la norme du vecteur v en fonction de ,α, β, et &v. Correction: Question 1 : Démonstration Les voitures sont des solides pseudos isolés, donc d'après la première loi de Newton : ∑ Fext = 0 D'après la deuxième loi de Newton : ∑ Fext = dp . On a ainsi dp = 0 ⇔ dp = 0. dt dt Il y a donc conservation de la quantité de mouvement avant et après le choc d'où : M 1 v 1 + M 2 v 2 = 1 + M 2 ) v . [...]

[...] h Question 2 M1 × v1 × sin sin((𝛼) 𝛽 = 90° ⟹ v2 = -M1 × v1 × sin sin((𝛼) = M2 × sin 90 ° - 𝛼 = M2 × cos cos((𝛼) tan((𝛼) × M1 × v1 tan M2 Question 3 (Calcul De Limite) On pose X = sin sin((𝛽 - 𝛼) . lim X = 0 𝛼→𝛽 Pou&r lim v 2 = lim 𝛼→𝛽 M1 × v1 × sin sin((𝛽) X→0 M2 × X = +∞ Pour que la voiture 2 ne soit pas dévier de sa trajectoire (c'est à dire lorsque 𝛼 = 𝛽) elle doit avoir une vitesse infini. [...]

[...] Le vecteur u + M2 v2y est colinéaire et de meme sens que v d'où M 2 v 2y = 𝛼 . On utlise la formule de trigonométrie : tan((𝛼) = tan M2 v2y M1 v1 + M2 v2x ⇔ v2y = tan((𝛼) × (M1 v1 + M2 v2x ) tan M2 Par projection vectorielle sur l'axe des abscisses, on obtient un triangle rectangle. M 2 v 2x adjacent à l'angle 𝛽 tandis que M 2 v 2y est le coté opposé à l'angle 𝛽. [...]

[...] tan((𝛽) = tan M2 v2y M2 v2x ⇔ v2y = tan tan((𝛽) × v2x On a donc l'égalité : tan((𝛼) × (M1 v1 + M2 v2x ) tan M2 = tan tan((𝛽) × v2x tan((𝛼) × M1 × v1 + tan tan tan((𝛼) × M2 × v2x = M2 × tan tan((𝛽) × v2x tan((𝛼) × M1 × v1 = v2x × (M2 × tan tan tan((𝛽) - tan tan((𝛼) × M2 ) tan((𝛼) × M1 × v1 = v2x × M2 × (tan tan tan((𝛽) - tan tan((𝛼)) Donc v 2x = Donc v 2y = tan((𝛼) × M1 × v1 tan M2 × (tan tan((𝛽) - tan tan((𝛼)) tan((𝛼) × tan tan tan((𝛽) × M1 × v1 M2 × (tan tan((𝛽) - tan tan((𝛼)) Finalement v 2 = v2 = v2 = 2 tan((𝛼) × M1 × v1 tan M2 × (tan tan((𝛽) - tan tan((𝛼)) + tan((𝛼) × tan tan tan((𝛽) × M1 × v M2 × (tan tan((𝛽) - tan tan((𝛼)) (tan tan((𝛼) × M1 × v1 ) 2 × 1 + tan 2 (𝛽) (M2 × (tan tan((𝛽) - tan tan((𝛼))) 2 tan((𝛼) × M1 × v1 × tan 1 + tan 2 (𝛽) M2 × (tan tan((𝛽) - tan tan((𝛼)) On peut simplifier : tan((𝛼) × 1 + tan 2 (𝛽) tan = tan((𝛽) - tan tan tan((𝛼) Donc v 2 = sin(𝛼) sin( cos((𝛼) cos × sin((𝛽) sin cos(𝛽) cos( sin 2 (𝛽) cos 2 (𝛽) sin((𝛼) sin - cos cos((𝛼) M1 × v1 × sin sin((𝛼) × cos cos((𝛽) M2 × sin sin((𝛽 - 𝛼) × cos cos((𝛽) = = sin((𝛼) sin 1 × cos((𝛽) cos(𝛼) cos cos( sin((𝛽)cos sin cos((𝛼)-sin sin((𝛼)cos cos((𝛽) cos((𝛽)cos cos cos((𝛼) = sin(𝛼) × cos sin( cos((𝛽) sin((𝛽 - 𝛼) × cos sin cos((𝛽) M1 × v1 × sin sin((𝛼) M2 × sin sin((𝛽 - 𝛼) Application Numérique : M1 = × Kg M2 = 850 Kg v1 = 35 km. h = 7m. s 𝛼 = 60° 𝛽 = 89° × × × sin sin((60°) v2 = 850 × sin sin((89° - 60) v2 = 20 m. s = km. [...]