Exercice de mathématiques : calcul intégral et étude de fonctions

Thèmes abordés

Sciences - Ingénierie - Industrie, Exercice de mathématiques, calcul intégral, étude de fonctions, démonstration, déterminer une surface, variations, intervalles, figures, abscisse, courbe, repère orthonormé

Résumé du document

Dans le repère orthonormé, on considère la courbe de la fonction u pour tout u > 0. On définit sur la courbe une portion sur un intervalle [k, k + 1] avec k est un réel strictement positif. Sur cette portion on considère le point M dont l'abscisse x appartenant à l'intervalle [k, k + 1] (Voir la figure ci-dessous).

Extraits

[...] Sur cette portion (𝒯) on considère le point M dont l'abscisse x appartenant à l'intervalle k + (Voir la figure ci-dessous) : Démontrer que la surface hachurée est : = + x − ln 1 + avec x ∈ k + 2x 2k(k + k (indication : on pourrait utiliser une méthode de comparaison de surfaces) Trouver la position de M afin que la surface hachurée soit minimale, puis calculer cette surface pour le cas k=1 En utilisant la question montrer que : ∀ x ln(1 + √ Dans le plan défini par un repère orthonormé, on considère un demi-cercle du rayon puis , sur ce demicercle on dessine un rectangle ABCD comme ce que montre la figure ci-dessous. [...]

[...] ENONCE DE L'EXERCICE Dans le repère orthonormé, on considère la courbe (𝒞) de la fonction u → pour tout u > 0 On définit sur la courbe (𝒞) une portion (𝒯) sur un intervalle k + avec k est un réel strictement positif. [...]

[...] Soit x l'abscisse du point B et la surface du rectangle ABCD. [...]

[...] Démontrer que : = 2x√1 − x avec x ∈ En utilisant la question précédente, déterminer la surface maximale du rectangle ABCD Page 1 CORRECTION 1Sur la figure ci-dessous on considère les points suivants : - A - B C D + 1 - E Puis on note : - S(ABCM) la surface du Trapèze ABCM S(MCDE) la surface du Trapèze MCDE ∆ la surface sous la portion de la courbe de la fonction u → allant du point A au point M - ∆ la surface sous la portion de la courbe de la fonction u → allant du point M au point E Donc : - S(ABCM) = - S(MCDE) = - ∆ = ∫ - ∆ = ∫ ( ( )× )× = ) ×( ×( = = − ) = − dt = ln(x) − ln(k) dt = ln(k + − ln(x) Puis comme : = [S(ABCM) − ∆ ] + [S(MCDE) − ∆ ] Alors on déduit que : = − − ln(x) + ln(k) + Finalement on conclut que : ∀ x ∈ k + , = + − ( ) + ln(x) − ln(k + x − ln 1 + 2Pour cette question on va étudier l'intervalle k + Page 2 les variations de la fonction = + ( ) x − ln 1 + sur ( La fonction S est dérivable sur l'intervalle k + et ∀ x ∈ k + , S′(x) = On note que ∀ k > k ( ) ) k(k + k + 1 Donc le tableau des variations de la fonction S est le suivant : x k k+1 k(k + S′(x) - O + 1 k(k + Ainsi, la fonction S admet un minimum au point x = − ln 1 + 1 k k(k + égale au ( ) Finalement, on conclut que la surface hachurée est minimale à la position M égale à S = Cas k=1 : S ( − ln ) = √ − ln 1 + k(k + ( ) et elle est − ln(2) ≈ 0,014 3D'après la question 2 on a montré que ∀ k > S Puis, comme ∀ k > S M sur la portion (𝒯) ( ) − ln 0 car [S(ABCM) − ∆ ] + [S(MCDE) − ∆ ] 0 quel que soit la position de Alors, on déduit que ∀ k > ln 1 + Puis on pose x = = ( ) , ce qui revient à écrire que ∀ x > ln(1 + √ , et cette inégalité est vraie encore pour x = 0 Finalement on a montré que ∀ x ln(1 + √ D'abord = AB × BC Et comme les coordonnés des points sont : - A (−x, B - C √1 − x - D −x, √1 − x positifs ) Page 3 ( Car le point C appartient au cercle d'équation : y + x = 1 sur le demi plan des ordonnées positifs) ( Car le point D appartient au cercle d'équation : y + x = 1 sur le demi plan des ordonnées Alors on conclut que : ∀ x ∈ , = 2x√1 − x Pour cette question on va étudier les variations de la fonction = 2x√1 − x sur l'intervalle La fonction L est dérivable sur l'intervalle et ∀ x ∈ , L′(x) = √ Donc le tableau des variations de la fonction L est le suivant : x L′(x) √2 + O - 1 Finalement la surface du rectangle ABCD est maximale quand l'abscisse du point B est égale à surface à ce point égale à 1. [...]