Exercice guidé de mathématiques sur la matrice carrée d'ordre 2

Thèmes abordés

Sciences humaines et arts, exercice guidé de mathématiques, matrice carrée d'ordre 2, théorème de Cayley-Hamilton, matrice, application linéaire, espace vectoriel, équation matricielle

Résumé du document

Ce document représente un exercice guidé de mathématiques se concentrant sur la matrice carrée d'ordre 2.
On se propose de résoudre une équation matricielle dont les solutions sont des matrices carrées d'ordre 2.

Extraits

[...] Exercice Guidé : Matrice Carrée d'Ordre 2 On se propose de résoudre une équation matricielle dont les solutions sont des matrices carrées d'ordre 2. Enoncé Préliminaires Montrer le théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices carrées d'ordre 2 : A 2 - tr(A)A + det( det(A)I = O où tr(A) est la trace de det( det(A) est son déterminent, I la matrice identité et O la matrice nulle. Montrer le même résultat qu'en mais en effectuant un calcul plus astucieux : calculer A - tr(A)I puis A(A - tr(A)I) et conclure. On note M 2 l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2. [...]

[...] On suppose det( det(A - 3I) = D'après le théorème de Cayley-Hamilton : - 3I) 2 - tr(A - 3I)(A - 3I) + det det((A - 3I)I = O . A 2 - 6A + 9I - t(A - 3I) + 3 × tr(I) × - 3I) = 0 A 2 - 6A + 9I - tA + 3tI + 6A - 18I = O A 2 - tA + (3t - 9)I = O A 2 = tA - 3(t - 3)I On a donc A 3 = tA 2 - 3(t - 3)A = t 2 A - 3t(t - 3)I - 3(t - 3)A A 3 - 3A 2 = t 2 A - 3t(t - 3)I - 3(t - 3)A - 3tA + 9(t - 3)I = A t 2 - 3(t - - 3t + I(t - - 3t) A 3 - 3A 2 = A t 2 - 6t + 9 - + - 3)I = A(t - 2 - 3(t - 2 I = - 3I)(t - 2 On applique la fonction x → tr(x) sur l'égalité, soit : tr A 3 - 3A 2 = - 2 - 3 × = - 2 - tr A 3 - 3A 2 = M ⇔ - 2 - = - 4 ⇔ t = 2 ou t = 5. [...]

[...] Montrer det( det(A - 3I) = 0 ou det( det(A) = 0. On suppose det( det(A) = 0 Montrer que A 2 = tA, puis exprimer A 3 en fonction de I. Montrer que t est solution d'une équation du troisième degré. En déduire les matrices solutions A dont le déterminent est nul. [...]

[...] On suppose det( det(A - 3I) = 0 Montrer que A 2 = tA - 3(t - 3)I , puis exprimer A 3 en fonction de I. Montrer que t est solution d'une équation du troisième degré. En déduire les matrices solutions A lorsque det( det(A - 3I) = Correction Préliminaires a b . c d a 2 + bc ab + bd On a ainsi A 2 = ac + cd d 2 + bc Soit la matrice A = det( det(A) = ad - bc et tr(A) = a + d . [...]

[...] Une application linéaire d'un R-espace vectoriel E dans un R-espace vectoriel F est une application f de E dans F telle que : f(𝛼A + 𝛽B) = 𝛼f(A) + 𝛽f(B) pour tout (𝛼, 𝛽) dans R 2 et dans M 2 Une forme linéaire sur un R-espace vectoriel E est une application linéaire de E dans R. Montrer que l'application A ↦ tr(A) est une forme linéaire. Résoudre l'équation t 3 - 3t 2 + 4 = Résoudre l'équation - 2 - = - II-Problème On cherche les matrices A dans M 2 qui satisfont l'égalité : A 3 - 3A 2 = On note A une solution de l'équation et t sa trace. [...]