Exercice guidé de mathématiques sur la constante d'Euler

Thèmes abordés

Exercice guidé de mathématiques, constante d'Euler, développement, limite, suite de terme général, fonction contenue dérivable, démonstration, inégalité

Résumé du document

Ce document représente un exercice guidé de mathématiques se concentrant sur la constante d'Euler. Nous étudierons une suite de terme générale... Pour cela, on démontrera qu'elle est convergente vers une constante strictement positive. Cette
constante s'appelle la constante d'Euler et est généralement notée y.

Extraits

[...] n n - n-1 n-1 i+1 t-i 1 t-i ∑ ∑ ∫ dt ⇔ ∫ dt 2 i i i2 t2 t2 i=1 i i=1 Or ∫1 n 1 t 2 n dt ∑ i=2 i 2 ⇔∫ n 1 t 2 n-1 dt ∑ i 2 + 1 n 2 ⇔ ∫ n t 2 dt - 1 n 2 n-1 ∑ i2 n dt + 1 𝛾'n i 1 t2 t n i=1 donc (𝛾'n ) est également majorée par lim M n = 2 De plus 𝛾'n = ∑∫ On a 𝛾'n+1 = 𝛾'n + ∫n t-i n+1 dt d'où ∫ t-n t2 n → +∞ dt On sait que n 1,donc sur n + : t-i t2 0 soit ∫ i i+1 t-i t2 dt 0. On déduit 𝛾'n+1 𝛾'n , la suite est donc également croissante. Les deux suites (𝛾'n ) et n ) sont croissantes et majorées par d'après le théorème de la convergence des suites monotones : (𝛾'n ) et n ) convergent vers une limite finie. [...]

[...] En déduire que la suite (𝛾 n ) est convergente. On appelle 𝛾 la limite de la suite (𝛾 n Il s'agit de la constante d'Euler. Montrer l'inégalité suivante dt i i t pour i ∈ N ⋆ et en déduire que 𝛾 est strictement positif. [...]

[...] + 2 i 2 + 2 i 2 ∫0 t + t + 2 i i+1 t-i t2 dt ⇔ ∫ dt 1 t 0 + 2 dt 2i i 1 i . t2 + 2 i+1 i+1 i 1 dt ∫ dt ⇔ ∫ dt = i i t2 + 2 t2 + 2 + 2 + 2 n-1 n-1 n n i+1 n ∑ ∑ ∑ ∑ Enfin ∫i 2 dt = ⇔ ∫ 2 dt t t i=1 i=1 + i=2 i i=2 i ∫i i+1 t 0 i2 dt donc ∫ ∀i ∈ ∀t ∈ i t i + 1 ⟹ Par propriété de l'intégrale : dt ∫ 1 ∫1 n n n-1 n n n ∑ ∑ dt ⇔ ∫ dt + + ⇔ ∫ dt - 2 + 1 ∑ t 1 t t n 1 n 1 n i=2 i i=2 i i=1 i n-1 Or 𝛾'' n = ∑ 12 donc n ) est majorée par i=1 Mn = t i lim Mn avec Mn = ∫ n → +∞ 1 n dt t2 n2 n 1 - = + 1 - 2 + 1 soit lim Mn = 2.On conclut 2 𝛾''n 2 n → +∞ n n n 𝛾''n = 𝛾n-1 + 2 avec 2 > 0 d'où 𝛾''n+1 𝛾''n , la suite est donc croissante. [...]

[...] Enoncé Développement Soit f une fonction continue dérivable sur + ∞[ . On note sa dérivée. Pour i entier positif, montrer l'égalité : ∫i i+1 × t - i - f(i + + dt = - ∫ dt i en utilisant une intégration par parties. [...]

[...] On sait par définition que 𝛾 n = 1 - 𝛾'n , la suite (𝛾 n ) est donc convergente et a pour limite : lim 𝛾n = 1 - lim 𝛾'n . n → +∞ n → +∞ i+1 i+1 t-i On remarque que - ∫ dt = ∫ - dt = ∫ dt . i i i i t i t it r-i s-i Pour i r i + et i + s i + on a : 0 et ri si 2is 2i(i + 1 i+1 s-i 1 2r-i Par propriété de l'intégrale : - ∫ dt = ∫ dr + ∫ ds > si i i i t ri 2i(i + i+1 dt. [...]