Etude locale d'une application vectorielle en dimension finie

Résumé du document

Cours de Mathématiques de Classe préparatoire aux grandes écoles (PC*) sur l'étude d'applications vectorielles.

Extraits

[...] On note alors : X A = sup X=0 AX X ii. Montrer que (Mn ) est un espace vectoriel normé. iii. Montrer que : Mn iv. Montrer que A = sup X AB A B . AX . II Continuité des applications bilinéaires Théorème II.15 (Continuité des applications bilinéaires) Soit F et G trois espaces vectoriels de dimension finie et b une application bilinéaire définie sur E F à valeurs dans G. Il existe une constante k telle que pour tout couple de E F et b est continue. [...]

[...] ϕ Remarque : Soit E et F deux espaces vectoriels normés de dimension finie, A une partie de E et f une application définie sur A à valeurs dans F. Soit a un point de E adhérent à A. Si f admet une limite en alors f est bornée au voisinage de c'est-à-dire que f = Oa si l'application II.3 Continuité locale Définition II.8 Soit E et F deux espaces vectoriels normés de dimension finie, A une partie de E et f une application définie sur A à valeurs dans F. Lorsque a appartient à l'application f est dite continue en a si f admet une limite en a. [...]

[...] On dit que l'application f admet b comme limite en a si f vérifie l'une des deux propositions équivalentes suivantes : i. > > ( x a E α b F ε) ; ii. pour toute suite (xn ) d'éléments de A convergeant vers (f(xn converge vers b 2009-2010 Démonstration : On montre que les deux énoncés ci-dessous sont équivalents. On suppose que le point 1 est vérifié ; soit ε > 0. Alors il existe α > 0 tel que ( x a E α b F ε). [...]

[...] A est dite compacte si et seulement si A est fermée et bornée. Attention ! Cette définition ne s'étend pas aux espaces vectoriels normés de dimension infinie. Exemple : segments. Dans est un compact. Plus précisément, les intervalles compacts de R sont les Exercice 4 On considère E = M3 Montrer que le sous-ensemble de E constitué des matrices A telles que tr tAA = est une partie fermée de E. L'ensemble P est-il une partie compacte de E ? [...]

[...] a a a a Démonstration : La démonstration est analogue à celle des propriétés algébriques des suites convergentes. On peut également se ramener aux propriétés connues des fonctions à valeurs réelles 2009-2010 II.2 II Applications bornées Norme de la convergence uniforme Définition II.5 Soit E et F deux espaces vectoriels normés de dimension finie, A une partie de E et f une application définie sur A à valeurs dans F. La fonction f est dite bornée si la partie est bornée. [...]