Étude de la fonction (12x² - 17x -2)/(3x-5)

Résumé du document

Etude de la fonction (12x² - 17x -2)/(3x-5) détaillant les différentes étapes qu'il faut savoir aborder en classe de Terminale. Comment montrer qu'une droite est asymptote oblique à une courbe ? Comment étudier la position d'une courbe par rapport à une droite ? Comment étudier les variations d'une fonction ?

Extraits

[...] Définition : 4x+1 est asymptote oblique à Cf si la limite de lorsque x tend vers l'infini est égale à 0. Calculons : = - 17x 3x - - 17x 3x 12x² - 17x- 2 12x² + 20x 3x + 5 ) = 3 / Puis étudions la limite de ce quotient quand x tend vers l'infini : Lorsque x tend vers +l'inf: Lim 3 / = Lorsque x tend vers -l'inf: Lim 3 / = 0Ainsi, la limite de en l'infini est égale à 0 et on peut conclure que 4x+1 est asymptote oblique à Cf. [...]

[...] Etudier le signe de f' revient donc à étudier le signe de (36x²-120x+91) : 36x²-120x+91=0 Delta= - 4*36*91= 14400- 13104 = 1296 = X1= (120 36)/2*36 = 84/72= 7/6 X2= (120 + 36)/2*36 = 156/72= 13/6 x f'(x) -OO positif 7/6 5/3 négatif 13/6 négatif +OO positif -OO +OO Lim quand x tend vers 7/6 = 1 Lim quand x tend vers 13/6 = 11,7 (à reporter dans le tableau, ainsi que les limites quand x tend vers 5 déjà calculées dans la question Déterminez l'équation de la tangente à Cf au point A d'abscisse x=2. L'équation de la tangente est de la forme : f'(2)(x-2) + On obtient f'(2) et en remplaçant x par 2 dans les expressions de f'(x) et de f(x). f'(2)=-5 16 Ainsi, on obtient l'équation de la tangente à Cf au point A en remplaçant les valeurs dans : + 16 La courbe Cf admet-elle une asymptote oblique d'équation 4x+1 ? [...]

[...] Etude de la fonction : 12x² - 17x 3x 5 ayant pour représentation graphique Cf. Domaine de définition : Limites et asymptote : Dérivée : Variation : Tangente à Cf au point A d'abscisse x=2 Asymptote oblique 4x+1 Position de Cf par rapport à la droite delta d'équation 4x+1 Recherche du domaine de définition Cf : La fonction f est définie si et seulement si 3x-5 est différent de 0 ( quotient à dénominateur nul impossible). Ainsi, la fonction f est définie pour tout x différent de 5/3. [...]

[...] Ici, l'étude se fera en +l'infini, -l'infini et en 5/3. Etude quand x tend vers +l'infini : Lim lim(12x² - 17x 3x lim = lim(4x)= +inf La propriété utilisée est la suivante: la limite d'un quotient de polynômes est égale à la limite du quotient des termes de plus fort degré. Etude quand x tend vers –l'infini : La démarche est la même que dans le cas où x tend vers l'infini et on en déduit : Lim f(x)=-inf Etude quand x tend vers 5/3 : Par valeurs positives : lim( 12x²-17x 3 lim(3x d'où limf(x)=+inf Par valeurs negatives: lim( 12x²-17x 3 lim(3x d'où limf(x)=-inf Ainsi, d'après et la courbe f admet une asymptote verticale d'équation 5/3. [...]