Estimation ponctuelle et intervalle de confiance

Thèmes abordés

Estimation ponctuelle, intervalle de confiance, échantillonnage, paramètres usuels, statistiques

Résumé du document

Population: ensemble d'objets.
Individus, unités statistiques: objet de base.
Echantillon: partie observée.
Variables: grandeurs mesurées sur les individus. Elles peuvent être: numériques: discrètes ou continues ou qualitatives: nominales ou ordinaires.

Extraits

[...] S*2 mais ce Estimateur de p : proportion Soit p la proportion d'individus d'une population ayant une caractéristique A. La fréquence empirique est un estimateur sans biais de p , F = nA/n avec nA = nombre d'individus ayant la caractéristique A et n = taille de l'échantillon III - Estimation par intervalle de confiance Estimation ponctuelle fournit une valeur selon l'échantillon. Mais il est plus réaliste et intéressant de trouver une fourchette un intervalle dans lequel le paramètre a le plus de chance d'être (notion de confiance associe à l'intervalle une probabilité, une chance). [...]

[...] Chapitre II Estimation ponctuelle et intervalle de confiance I - Notions élémentaires sur l'échantillonnage : Quelques définitions Population : ensemble d'objets Individus, unités statistiques : objets de base Échantillon : partie observée Variables : grandeurs mesurées sur les individus. Elles peuvent être : numériques : discrètes ou continues ou qualitatives : nominales ou ordinales Enquête : recherche d'information Sondage : collecte d'information partielle portant sur un échantillon Recensement : étude de toute la population Représentativité : fiabilité de l'extrapolation de l'échantillon à la population Mode de tirage de l'échantillon le plus simple et le plus important : tirage aléatoire simple (équiprobabilité et indépendance.) Les observations et les résumés numériques classiques deviennent des variables aléatoires et il faut connaître les lois de ces v.a. [...]

[...] σ connu , échantillon de petite taille Il faut l'hypothèse supplémentaire : X N(m , σ ) X σ n (loi exacte) 6 Intervalle de la forme : [ X - uσ n ; uσ σ inconnu , échantillon de grande taille n > 30 X n on remplace σ par (loi approchée) Intervalle de la forme : [ X - us * n ; us * n ] σ inconnu , échantillon de petite taille Il faut l'hypothèse supplémentaire : X N(m , σ ) X n > Tn-1 (Loi de student à n-1 degrés de liberté) Intervalle de la forme : [ X - ts * n ; ts * n ] Remarque : on note parfois uα / tα / 2 au lieu de u et t. III-2 Intervalle de confiance pour la proportion p Si n grand, alors la fréquence empirique F suit une loi normale (loi approchée). [...]

[...] Estimateur convergent : θ chap est un estimateur convergent de θ s'il tend vers θ quand la taille de l'échantillon tend vers l'infini. Erreur quadratique moyenne et variance minimale : (θ chap θ) 2 ] = V(θ chap ) + [E(θ chap ) -θ C'est une mesure de la précision d'un estimateur. Si θ chap θ chap 2 sont deux estimateurs sans biais, le plus précis sera celui de variance minimale III - Estimation ponctuelle des paramètres usuels Estimateur de m : moyenne 1 n X est un estimateur sans biais convergent de m i i=1 X ) = m et X tend vers 0 quand n tend vers l'infini D'après les résultats sur l'échantillonnage. [...]

[...] Ce sont des réalisations des variables aléatoires X , S F appelées estimateurs Définitions : Estimateur : soit θ un paramètre quelconque défini au sein d'une population P et prenant ses valeurs dans Θ . Si x xn) est un échantillon simple de P , on appelle 3 estimateur de θ toute fonction ϕ des xi . On note θ = ϕ (x1 ,xn ) . Plusieurs estimateurs sont possibles d'où la nécessité d'un critère de choix. [...]