Les estimations mathématiques

Résumé du document

Définition exacte de l'estimateur et de l'estimation, il donne les différents types d'estimations des exemples d'applications et la méthode pour construire un bon estimateur.

Extraits

[...] En effet, comme la fonction de répartition de peut être remplacée par la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite, dès que n est supérieur ou égal à 30, la symétrie de la loi normale donne : P u α = α α) α u α) = α α) α = 2 α α) 1 = 1 Les valeurs de la fonction de répartition α sont données par des tables. Un estimateur CAG est un estimateur correct et asymptotiquement gaussien. [...]

[...] L'échantillon binaire observé est par exemple : Pour un échantillon de taille 10 de la loi de Bernoulli de paramètre la probabilité d'une telle réalisation est . Voici quelques valeurs numériques. de la taille moyenne µ dans la population, pour valeur dans l'échantillon, la moyenne arithmétique des tailles des individus de l'échantillon. Cet estimateur possède une loi de probabilité qui peut être calculée en fonction de la loi de probabilité de X. Exemple 2. Soit s la variance de la taille des individus de la population. [...]

[...] Cette méthode permet une exécution rapide. Elle est économique, car elle focalise les tirages. La méthode de tirage au hasard à chaque niveau peut varier suivant le cas, par exemple tirage proportionnel aux unités qu'il contient, ou tirage équiprobable. Nous disons alors que nous pouvons avoir des tirages avec probabilités inégales. Cas particulier : tirage par grappes. Nous choisissons des grappes pour lesquelles nous gardons tous les "grains", ou individus. Une "grappe" est un groupe d'individus de même nature. Exemple : ménages d'un même immeuble. [...]

[...] Echantillonnage systématique. Les individus de la population Ω sont numérotés de 1 à N. Pour sélectionner n individus, nous partageons la population en k = groupes : { k { 1 + k k } { 1 + k N Nous choisissons au hasard l'individu i par les individus numérotés de 1 à k. Nous constituons notre échantillon des individus { i + i + 2 k i + k Le choix de l'individu i détermine entièrement la constitution de l'échantillon. [...]

[...] Le terme estimation recouvre plusieurs réalités différentes mais étroitement reliées entre elles : Estimation ponctuelle : Définition : L'estimation (ponctuelle) a pour objectif d'extraire de l'échantillon une information complète ou partielle sur la distribution qui lui a donné naissance. Soient exemples d'estimation : On souhaite connaître : 1. le taux de germination de graines de tournesol ; 2. le viscosité moyenne d'un polymère en vue de fabrication de composant électronique, et la variabilité de cette viscosité ; 3. la fréquence de l'allèle A dans une population. Les quantités d'intérêt sont des valeurs théoriques (paramètres) dont les vraies valeurs ne seront jamais connues mais qu'on souhaite estimer à partir de données expérimentales. [...]