Les espaces vectoriels : structures et définitions

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Espaces vectoriels, structures et définitions, cours de mathématiques, formules mathématiques, combinaisons linéaires, somme de sous-espaces vectoriels, familles de vecteurs

Résumé du document

Ce cours de mathématiques s'intéresse aux espaces vectoriels, ses structures ainsi que ses diverses définitions et théorèmes. Ainsi, un C-espace vectoriel est un triplet (E,+,.). Les éléments de E sont appelés vecteurs, ceux de C sont appelées scalaires. Toutes ces règles sont naturelles sur les vecteurs du plan ou de l'espace. Il y a donc huit axiomes de vérification pour montrer qu'une chose est un espace vectoriel. Différentes combinaisons linéaires sont détaillées ainsi que des espaces sous-vectoriels, et des définitions concernant les familles de vecteurs tels que les familles génératrices, les familles liées et libres. Enfin, des propriétés et théorèmes sont exposés concernant la somme de deux sous-espaces vectoriels.

Extraits

[...] Sous-espaces vectoriels Définition : Soit un -e.v. Soit , stable par et par . On dit que est un sous-espace vectoriel de si est un -e.v. Théorème : Soit un -e.v et . ( est un sous-espace vectoriel de ) C'est-à- dire : . Remarque : On passe de vérifications à . Théorème : Soit . Alors : est un sous-espace vectoriel de . Théorème : Soit un -e.v, deux sous-espace vectoriel de E. Alors : est un sous espace vectoriel de . [...]

[...] est un sous espace vectoriel de . C'est le plus petit sous espace vectoriel de contenant et . Propriété : Remarque : Si engendre , egendre , alors engendre mais n'est pas à priori libre. B. Somme directe Définition : Soit des sous espaces vectoriels de . On dit que la somme est directe si : et . Dans ce cas, on note la somme . Théorème : Soit des sous espaces vectoriels de . Alors : et sont en somme directe . [...]

[...] Familles liées ; familles libres Définition : Soit . On dit que est libre (ou que les vecteurs sont linéairement indépendants) si : . Définition : est liée si n'est pas libre. On dit que et sont colinéaires si sont liée. Définition : Soit . ou est libre si : presque nulle Remarque : Liberté Liberté de toute sous-famille finie. Théorème : Soit . Si est libre et , alors est libre. Par contraposition : si et liée, alors est liée. [...]

[...] Les espaces vectoriels I. Structure d'espace vectoriel A. Généralités Définition : Un -espace vectoriel est un triplet tel que : est un groupe commutatif, de neutre . est une loi de composition interne sur . . . . . telle que : . . . . Remarques : Les éléments de sont appelés vecteurs, ceux de sont appelées scalaires. Toutes ces règles sont naturelles sur les vecteurs du plan ou de l'espace. Il y a donc axiomes de vérification pour montrer qu'un truc est un espace vectoriel. [...]