Les espaces vectoriels

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Résumé du cours de Mathématiques niveau Bac +1 sur les espaces vectoriels en mathématiques.

Extraits

[...] E est appelé le dual. λ *Equations linéaires. *Définition : Soit ; + ; . ) K-EV Soit ; + ; . ) K-EV Soit u ℒ(E Soit F u ( ) = : équation linéaire de 2 membre et d'inconnue *Un exemple: x + 2y = 1 x + 2y = 1 x + y 2z = 0 y + 3z = 1 y + 3z = 1 y + 3z = 1 x + 2y + z = 1 z quelconque y + 3z = 1 y = 1 3z x = + 5z S = { + 5z ; 1-3z ; / z R } = { ; 1 ; + z(5 ; ; / z = solution particulière solution de *Intersection de 2 S.E.V. [...]

[...] et E et E deux S.E.V. tq E = E E p est la projection sur E par rapport à E l'application p : E E *Projecteur : Soit E K-EV. On appelle projecteur de E tout endomorphisme de E vérifiant p p = p *Symétrie : Soit E K-EV. On appelle s symétrie de E tout endomorphisme de E tq s s = Id *La loi sur les applications linéaires: Soit u ℒ(E Soit v ℒ(F Alors v u ℒ(E : La composée de 2 applications linéaires est encore une application linéaire *Propriétés: si F est un S.E.V. [...]

[...] de E qui contient X. de E qui contient X. *proposition : Soit E K-EV. Soit X = { ; ; ; ; } Vect ( X ) = ensemble de toutes les C.L. de = { E / (λ ) K / = } On dit que ( ) est une famille génératrice de Vect ( X *Proposition : E + E est un S.E.V. de E. E + E = Vect ) *Propriétés : p ℒ(E) p ℒ(E) Im p = E Im p = E ker p = E ker p = E p + p =Id p + p =Id p p = p p p = p p p = 0 p p = 0 *propriété : Soit p ℒ(E) un projecteur E Im p ) = ker p Im p = E p est en fait la projection de Im p par rapport à ker p *propriété : s G.L.( F ) s = s *propriétés : distributivité de la loi à gauche et à droite par rapport à Soit ( u ; v ; w ) ℒ(E ℒ(F à gauche: w ( u+v ) = w u + w v à droite : ( u + v ) w = u w + v w ( Reste vrai même si les applications ne sont pas linéaires) ATTENTION : Soit u ℒ(E) n N O note u = u u u u . [...]

[...] est un S.E.V. de E. L'intersection des S.E.V. de E est encore une S.E.V. de E E E = E E *sous espace vectoriel engendré : *énoncé : Soit E K-EV . Soit X une partie quelconque de E. Alors F = où E est S.E.V. de E contenant X est appelé S.E.V. engendré par X. Vect ( X ) *Définition de combinaison linéaire : Soit E K-EV. Soit X = { / 1 } partie finie non vide. est C.L. [...]

[...] - ker u + / ker u } Les solutions sont du type une solution particulière les solutions de l'équation homogène u ( ) = *Propriétés caractéristiques : Vect ( X ) est un S.E.V. de E X Vect ( X ) Vect ( X ) est le plus petit S.E.V. de E contenant X au sens de l'inclusion. C' est la partie qui contient juste les éléments nécessaire autours de X pour avoir une structure d'espace vectoriel. F = Vect ( X ) F S.E.V. de E X F G S.E.V. de E contenant F G *Propriétés imédiates : Vect = { } Vect ( X ) = X S.E.V. [...]