Espaces vectoriels de dimension finie : définitions et théorèmes

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Espaces vectoriels de dimension finie, définitions et théorèmes, théorème de la base incomplète, famille génératrice, propriété, formules mathématiques, formule de Grassman

Résumé du document

Ce cours de mathématique propose de s'intéresser aux espaces vectoriels de dimension finie à l'aide de différents théorèmes et définitions. Ainsi, soit E un C-espace vectoriel. On dit que E est de dimension finie s'il existe une partie génératrice finie dans E. Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie, et X E une partie génératrice de E à n éléments. Si Y est une famille libre de E, Y possède moins de n éléments. Concernant la dimension d'un espace vectoriel de dimension finie, si X est un ensemble fini, Card(X) (cardinal de X) désigne le nombre d'éléments de X. Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie. Alors toutes les bases de E sont finies et ont le même cardinal. Ce cardinal commun est noté dimE (ou dimCE) : la dimension de E.

Extraits

[...] Espaces vectoriels de dimension finie Définition : Soit un -espace vectoriel. On dit que est de dimension finie s'il existe une partie génératrice finie dans . I. Bases d'un espace vectoriel de dimension finie Théorème : Soit un -espace vectoriel de dimension finie, et une partie génératrice de à éléments. Si est une famille libre de , possède moins de éléments. Théorème de la base incomplète : Soit un -espace vectoriel de dimension finie. On suppose que engendre . On suppose que sont linéairement indépendants. [...]

[...] Pour chaque , il existe tel que : . La matrice de dans la base est alors : . Théorème : Soit un -espace vectoriel de dimension finie et une base de . Soit une famille de . Alors : est une base de est inversible. Théorème : Soit . Soit la base canonique de . Alors : . Théorème : Soit de lignes et de colonnes . Alors : est une base de . Alors : est une base de . Théorème : Soit . [...]

[...] Théorème : Soit un -espace vectoriel de dimension finie égale à . Alors : Toute famille libre a au plus éléments. Toute famille génératrice a au moins éléments. Théorème : Soit un -espace vectoriel de dimension finie égale à . Soit , une famille de à éléments. Alors : est libre est génératrice est une base. Définition : Soit un -espace vectoriel et . On définit le rang des . Propriété : On a un rang et est libre. Autrement dit, est le nombre maximal de indépendants. [...]

[...] Alors : est de dimension finie et : . Notamment, si et sont en somme directe Théorème : Soit un -espace vectoriel de dimension finie. Soit un sous espace vectoriel de . Il existe un supplémentaire de dans . Tout supplémentaire de dans a pour . Théorème : Soit un -espace vectoriel de dimension finie, et des sous espaces vectoriels de . Alors : et . et . et . Remarque : Si est de dimension finie, si est un sous-espace vectoriel de tel que alors . [...]