Les espaces vectoriels : définitions et démonstrations

Résumé du document

Soit A une partie de E. Il existe un plus petit sous espace vectoriel de E contenant A, appelé le sous espace vectoriel de E engendré par A, noté Vect(A).

Démonstration : Il faut montrer l'existence de Vect(A). Il existe des sous espaces vectoriels de E contenant A, E par exemple. Leurs intersections est un sous espace vectoriel de E qui contient A, c'est le plus petit au sens de l'inclusion.
Vect(A) = intersection de tous les sous espaces vectoriels de E qui contiennent A (...)

Extraits

[...] est une loi interne : si , a.b∈ℝ La loi + est distributive par rapport à la loi . : si , b , : Donc est un anneau. Il est commutatif car la loi . est commutative. a.b=b.a Si , Finalement, si alors 1 a est l'inverse de a pour la loi a. . [...]

[...] x iv) 1. x Les éléments de E sont appelés des vecteurs et ceux de k des scalaires. Exemples : ℝ est un ℝ espace vectoriel?? On montre que est un ℝ espace vectoriel. ℝ est non vide comme est un corps, on sait que , est un groupe commutatif. Il reste à montrer que : a y Car setR est un corps . [...]

[...] Donc B est un sous espace vectoriel de E. : On suppose que B est un sous espace vectoriel de E On veut montrer que B ou 12 Cours de Mathématiques Nounours Soient x et y alors y B ( car espace vectoriel de donc y ou 1er cas : 2ieme cas : : Si y comme Si y comme B On veut montrer que Si Si x A , on a que y on a que B sous y donc x donc (est un sous espace vectoriel de x : x ou x x A , B et si x , B Si x A et y B , y B Je dois montrer que y B Si Si B , x donc y , y A donc y A donc y B TD1 Exercice 4 : Vect Vect est le plus petit sous espace vectoriel de E contient Pour montrer l'égalité on doit montrer que : Vect est un sous espace vectoriel de E B⊂Vect C'est le plus petit B Vect(A) est un sous espace vectoriel de E Vect(B) est un sous espace vectoriel de E Donc Vect(A) + Vect(B) est un sous espace vectoriel de E Si x alors : Ou bien x A , donc x ∈Vect Donc Ou bien x , donc x et ∈Vect donc B⊂Vect Soit H un sous espace vectoriel de E qui contient On va montrer que Vect B Cours de Mathématiques Nounours Soit x alors avec a et b∈Vect a et H Donc H Ainsi une combinaison linéaire d'éléments de A appartient à H c'est à dire a H . [...]

[...] x=a . xb.x ii) C'est vrai car ℝ est un corps iii) x=abx Car . est associatif dans ℝ . iv) 1. x Car 1 est l'élément neutre pour . ℝn est ℝ -espace vectoriel On écrit la démonstration pour n = 2. [...]

[...] Alors x = a + b in H Conclusion : Vect(A) + Vect(B) est un sous espace vectoriel de contenant c'est le plus petit. C'est donc Vect . B et Polynôme : k =ℝ ( ou ℂ ) Définition : Un polynôme à coefficients dans k est représenté par une suite d'éléments de nul à partir d'un certain rang. On note : P X 1 X . n X n Le polynôme défini par la suite p avec a p=0 Le degré de P est le plus grand indice p tel que a p n Définition : Si n P X a p X p et X b p X p avec a et K , et si p=0 p=0 n n p p=0 p p On définit X a p X et P X a p X Si on note K [ X ] l'ensemble des polynômes à coefficients dans on a que K [ X est un espace vectoriel sur K. [...]