Espaces Vectoriels - Applications linéaires - publié le 08/07/2013

Thèmes abordés

Espaces vectoriels, applications linéaires, familles de vecteurs-base, combinaison linéaire, vecteur

Résumé du document

Nous ne donnerons pas dans ce chapitre de définition générale des espaces vectoriels. On va d'abord voir des exemples fondamentaux d'espaces vectoriels, puis définir, à partir de ceux-ci, tous les espaces vectoriels qui nous intéresseront.

Extraits

[...] ea Il admet pour base canonique la famille Vn Vi est le vecteur colonne dont u e toutes les composantes sont nulles, sauf la ii`me qui vaut Applications lin´aires de Mn,1 dans Mp,1 e Mn,1 Mp,1 est lin´aire. e X MX Th´or`me 3.8 Soit M Mp,n L'application fM : e e Th´or`me 3.9 Une application f : Mn,1 Mp,1 est lin´aire si et seulement s'il existe e e e une matrice M Mp,n telle que : Mn,1 f = M X. [...]

[...] Exemple 1.2 et E sont des sous-espaces vectoriels de E. On les appelle sous-espaces vectoriels triviaux Remarque : En on d´montre que F est non vide en montrant que 0 F. e e e Th´or`me 1.2 Si F est un sous-espace vectoriel de F est un espace vectoriel. e e Remarque : Pour d´montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel, il sera souvent plus simple e de d´montrer que c'est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de r´f´rence. e ee Exemple 1.3 Pour d´montrer que Sn (ensemble des matrice carr´s d'ordre n sym´triques) est e e e un espace vectoriel, le plus simple est de d´montrer que c'est un sous-espace vectoriel de Mn e Proposition 1.2 Soient E un espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et G un sousespace vectoriel de F. [...]

[...] e e Th´or`me 3.2 Soit n . Si un ) est g´n´ratrice de alors (u1 ) f (un est une e e e e famille g´n´ratrice de Im(f e e Remarque : On prend en g´n´ral la base canonique de qui est g´n´ratrice, et on peut alors e e e e affirmer que l'image de cette base est une famille g´n´ratrice de Im(f Mais attention : e e L'image d'une base n'est pas n´cessairement une base e L'image d'une famille libre n'est pas n´cessairement une famille libre e L'image d'une famille g´n´ratrice de E n'est pas forc´ment une famille g´n´ratrice de F. [...]

[...] Si up ) n'est pas libre, on dit qu'elle est li´e. Dans ce cas peut s'´crire comme e e combinaison lin´aire non triviale des vecteurs up e Exemple 2.1 La famille ( est une famille montre que, R b + 2c 3a a + 2b + 3c a + b 2 + c 3 = a c libre dans R En effet, on = 0 a=0 = 0 b=0 c=0 = 0 Remarques : Soit p et soit up ) une famille de vecteurs de E. [...]

[...] Mn,p ) RN (espace vectoriel des suites r´elles). e (espace vectoriel des fonctions de R dans R). ; Rn Propri´t´s fondamentales e e Proposition 1.1 Soit E un espace vectoriel Il existe 0 E tel que : u + 0 = 0 + u = u tels que u + u = 0. E u + v E ; λu E Remarque : Comme un espace vectoriel contient toujours il n'est jamais vide. Vocabulaire : Soit E un espace vectoriel. u E est appel´ un vecteur. [...]