Espaces Vectoriels - Applications linéaires

Thèmes abordés

Algèbre lineaire- espaces vectoriels- dimension finie- Rang

Résumé du document

Cours + exercices sur les espaces vectoriels et les applications lineaires ( 1ère année de CPGE )

Extraits

[...] chapitre : espaces vectoriels page Il se pourrait que vous rencontriez un jour ces sev là . Soient E un K-ev, f L et λ K. Prouver que l'ensemble Eλ = f = λx} est un sous-espace vectoriel de E en l'exprimant comme noyau d'une application linéaire Soient f : E F et g : F G deux applications linéaires. Montrer que ker f ker f ) et Im Img Soit f L(E). Montrer que Imf ker f si et seulement si f f = Vecteurs invariants par un endomorphisme. [...]

[...] D Espaces vectoriels de dimension finie, dimension D.1 Ev de dimension finie Définition 19 Soit E un K-ev. On dit que E est de dimension finie lorsque E admet une famille génératrice finie. On dit que E est de dimension infinie lorsque E n'est pas de dimension finie c'est-à-dire lorsque E n'admet pas de famille génératrice finie. Exemples Kn , Kn ( Cf prochain chapitre ) , l'ensemble dse fonctions polynomiale de degré n , les espaces ν2 et ν l'ensemble des solutions sur d'une équation différentielle linéaire sans singularité et sans second membre du premier ordre (ou du deuxième ) à coeffs constants, sont des espaces de dimension finie. [...]

[...] Dans n et pour i on note fi le vecteur dont toutes les coordonnées valent 1 sauf la ième qui vaut (fi ) est-elle une base de n ? Æ Ã Ã D.3 Ev de dimension finie isomorphes Définition 21 Soient E et F des K-ev. On dit que E et F sont isomorphes lorsqu'il existe un isomorphisme entre E et F . Mathématiques chapitre : espaces vectoriels Proposition 27 Deux K-ev non nuls de dimension finie sont isomorphes ssi ils ont même dimension. page 18 Rem0 Un espace de dimension finie et un espace de diminsion infinie ne sont pas isomorphes . [...]

[...] L'équation différentielle linéaire y 2y = exp x est une équation linéaire = B où u : E = C 1 F = et B = exp X=y y 2y Mathématiques chapitre : espaces vectoriels page 10 B.3 L'ensemble des applications linéaires de E dans F B L'espace vectoriel L F ) Dans tout ce qui suit , G désignent des Ã-espaces vectoriels quelconques. Proposition 8 L F ) est un K -espace vectoriel B Composition, l'ensemble , et le groupe linéaire GL Proposition Si f est un isomorphisme alors il en est de même de f Si f L F ) et g L alors g f L G). Proposition 10 Soit u L F ) , v L G). Alors les applications Θ : L F ) L et Ω : L L sont des applif g cations linéaires. [...]

[...] Le sev engendré par xn ) (par la famille xn est par définition le sev engendré par la partie xn } de E que cette famille détermine . Il est noté vect xn Définition 6 Soient E un K-ev et V un sev de E Soit A une partie de E. On dit que A est une partie génératrice de V (ou que V est engendré par lorsque V = vectA (i.e. lorsque V est en fait l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de Soit xn ) E n . [...]