Les espaces vectoriels : algèbre, polynômes de Lagrange, etc.

Résumé du document

Cours de Mathématiques, niveau Ecole supérieure, sur les espaces vectoriels.

Extraits

[...] Une matrice est triangulaire supérieure (respectivement inférieure) par bloc si et seulement si tous les blocs strictement en dessous (resp au dessus) de la diagonale sont nuls et si les blocs diagonaux sont carrés calcul par bloc: On admet que les formules de calculs sur les matrices par blocs sont -sous réserve que la taille des blocs soit compatible- les mêmes que pour les matrices dé nies par leur coe¢ cients. Dans l'exemple ci dessus M 2 = 02n . [...]

[...] Les coordonnées de P dans cette base étant (xj : P = n X P (xj )Lj j=0 L'unique polynôme P 2 Kn véri ant: 8i 2 P (xi ) = yi est le polynôme P = n X yi Li calcul: Les polynômes d'interpolation de Lagrange sont les polynômes: Li = n Y j=0;j6=i (xi xj ) xj ) application géométrique: droite du plan passant par deux points: Soit (x0 ; y0 ) et (x1 ; y1 ) deux points du plan avec x0 x l'équation de la droite passant par ces deux points est y = y0 L0 + y1 L1 soit y = y0 mais ce n'est pas le plus simple : y = y0 + y1 x1 x x0 y0 x0 x1 x + y1 x1 x1 x0 x0 x0 ) est plus simple et plus naturel Par trois points (x0 ; y0 ) ; (x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) non alignés et tels que les (xi ) soient deux à deux distincts , il passe une nique parabole d'axe vertical. Son équation est y = y0 L0 + y1 L1 + y2 L2 application aux fractions rationnelles n Soient (xi n complexes 2 à 2 distincts. [...]

[...] SOUS ESPACE STABLE: dé nition: Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel un sous espace vectoriel F de E est stable par f (ou f -stable) si et seulement si f ) exemples à connaître: n o et sont stables par f -le noyau et l'image de f sont stables par -si f g = g f alors le noyau et l'image de g sont stables par -on verra aussi des théorèmes de stabilité pour les sous espaces propres. - une droite D est stable si et seulement si D = V ect(v); v f = v -un hyperplan H est stable par f si et seulement si H = Ker( endomorphisme induit: Si F est stable par f l'endomorphisme induit par f sur F est l'endomorphisme fF de F dé ni par: 8v 2 fF = v A ne pas confondre avec la restriction de f (fjF ) qui est élément de matrice par blocs et sous espace stable: Théorème:Supposons que u 2 et que F est stable par u. [...]

[...] deux matrices semblables ont même rang ( . et même trace , même déterminant , mêmes valeurs propres) mais il n'existe aucune réciproque critère: M et N sont semblables si et seulement si il existe une matrice carrée inversible P telle que M = PNP pratique: n Pour montrer que M et N sont semblables dans Mn on se place dans Kn muni de sa base canonique (ei on prend f l'endomorphisme de matrice M et on cherche à déterminer une base telle que la matrice de f dans cette base soit N:P est alors la matrice de changement de base. [...]

[...] i=1 Dé nitions: Une telle base de E est dite adaptée à la décomposition en somme directe. Si F est un S.E.V. de E on appelle base de E adaptée à F toute base de E adaptée à une décomposition E = F n p ,c'est à dire toute base de E du type (ei telle que (ei soit une base de conséquence ThéorèmeLa somme n X i=1 n n X X Ei est directe si et seulement si dim( Ei ) = dim(Ei i=1 pratique en dimension nie Pour montrer une somme directe F = n M Ei en dimension nie on peut utiliser la méthode générale . [...]