Les espaces probabilisés

Thèmes abordés

Espaces probabilisés, expériences aléatoires, probabilités conditionnelles, indépendance, espaces probabilisés finis

Résumé du document

Définition : Certaines expériences entraînent des résultats aléatoires, qui dépendent du hasard.
On les appelle expériences aléatoires ou épreuves aléatoires.
Exemple : On va considérer dans la suite les deux expériences suivantes :
- Expérience 1 : on jette un de cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on lit le numéro apparu sur la face supérieure.
- Expérience 2 : on jette deux fois un de cubique et on note les numéros obtenus, dans l'ordre.

Extraits

[...] e e e e e e Exemple 1.2 Effectuons la premi`re exp´rience. On obtient un nombre, not´ ω, compris entre 1 et 6. On e e e appelle A1 l'´v´nement : num´ro obtenu est pair” et A2 l'´v´nement : num´ro obtenu e e e e e e est sup´rieur ou ´gal ` Donc, si ω = A1 est mais pas A e e a e e Effectuons la deuxi`me exp´rience. Le r´sultat est un couple (ω ω2 tel que ω1 et ω2 sont e e e compris entre 1 et 6. [...]

[...] On identifie e e e alors la probabilit´ avec l'aire occup´e par chaque partie. e e Th´or`me 2.2 Formule de Poincar´ dans le cas n=3 e e e Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilis´ fini et soiant B et C trois ´v´nements. On a alors e e e P B = P + P + P P P P + P B Th´or`me 2.3 Formule de Poincar´ dans le cas g´n´ral e e e e e Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilis´ fini et soit n . [...]

[...] Donc, (Ω, P(Ω), P ) e e est un espace probabilis´ fini. e 1 Ω, P = Comme A1 = { on aura P (A1 ) = P + P + P = 3 = Comme A2 = { on aura P (A2 ) = P + P + P = 3 = Propri´t´s e e Th´or`me 2.1 Soient (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilis´ fini, et A et B deux ´v´nements. On a : e e e e e P = 1 P P \ = P P B). [...]

[...] e e Exp´rience 2 : on jette deux fois un cubique et on note les num´ros obtenus, dans l'ordre. e e e 1.2 e Ev´nements D´finition 1.2 Lorsqu'on effectue une exp´rience al´atoire, certains faits li´s ` cette exp´rience e e e e a e peuvent se produire ou non. On les appelle ´v´nements. e e D´finition 1.3 e Tout ´v´nement qui n'est jamais r´alis´ est dit ´v´nement impossible. e e e e e e Tout ´v´nement qui est toujours r´alis´ est dit ´v´nement certain. [...]

[...] e e e e e e Exemple 2.2 Dans le cas de l'exp´rience si on suppose que le utilis´ est parfait, toutes les e e e faces ont la mˆme probabilit´ d'ˆtre obtenues. On est donc dans le cas, que nous ´tudierons plus e e e e card(A) , P(Ω). On loin, de l'´quiprobabilit´. On prend pour P la fonction d´finie par P = e e e 6 v´rifie facilement que cette fonction P est bien une probabilit´ sur (Ω, P(Ω)). [...]