Espaces pré-hilbertiens réels : définitions et propriétés

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Espaces pré-hilbertiens réels, définitions et propriétés, formules mathématiques, théorème de Gram Schmidt, inégalité de Cauchy-Schwarz, bases orthonormales coordonnées, produit scalaire, projection orthogonale

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques qui s'attache à présenter et définir les espaces pré-hilbertiens réels, en utilisant principalement des formules mathématiques tels que des théorèmes. Ainsi, en général, un produit scalaire se note sous cette forme : . Des définitions ainsi que propriétés et identités remarquables sont détaillées, par exemple le théorème suivant concernant l'inégalité de Cauchy-Schwarz : || plus petit ou égal à ||x||.||y||. De plus, on a égalité si et seulement si x et y sont colinéaires. Concernant l'inégalité triangulaire : |||x|| - ||y||| plus petit ou égal à ||x+y|| plus petit ou égal à ||x|| + ||y||. De plus, on a égalité si et seulement si les vecteurs sont colinéaires de même sens.

Extraits

[...] Projection orthogonale Définition : Soit un sous espace vectoriel de dimension finie de . La projection orthogonale (ou le projecteur orthogonal) sur est la projection sur parallèlement à . Théorème : Soit base orthonormée de . Soit la projection orthogonale sur . Aors : . B. Distance à un sous-espace vectoriel Définition : Soit un sous espace vectoriel de , soit Théorème : Soit un sous espace vectoriel de dimension finie de et E. Soit la projection orthogonale sur . [...]

[...] Espaces préhilbertiens réels I. Produit scalaire, norme Définition : Soit un -espace vectoriel. On dit que est un produit scalaire sur si : est bilinéaire : : est symétrique : . est positive : . est définie : . Notation : En général, un produit scalaire se note sous cette forme : . Définition : Soit un espace préhilbertien. Soit . La norme de , noté , est le nombre . On dit que est unitaire si . Si . [...]

[...] Toute famille orthonormale de peut être complétée en une base orthonormale de . D. Supplémentaire orthogonal Définition : Soit . Propriétés : Soit . est un sous espace vectoriel de , orthogonal à . . Théorème : Soit préhilbertien et un sous espace vectoriel de de dimension finie. Alors : est le seul supplémentaire de qui soit orthogonal à . On parle de supplémentarité orthogonale de . E. Vecteurs normaux Définition : Soit euclidien, de dimension . Soit un hyperplan de . . [...]