Espaces affines

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Cours de maths niveau prépa - Espaces affines

Extraits

[...] La matrice représentant u dans B ) est donc On obtient . Tout point M de E étant transformé par f en M' tel que , on en déduit l'expression des coordonnées de l'image en fonction de celles de soit : Le début de l'analyse précédente est encore valable si f est une symétrie par rapport à une droite. Le vecteur est encore changé en son opposé par la symétrie vectorielle associée u. On en déduit que u est une symétrie par rapport à une droite vectorielle dirigée par orthogonal à 3 + Si est la colonne des composantes de dans B avec les contraintes et 3a+5b+4c= la matrice de u dans B sera : U=2N.tN La forme analytique de f s'obtient comme précédemment à partir de Soit f rotation d'axe D passant par O orienté par normé et d'angle Si H est le projeté orthogonal de A sur l'image B de A par f sera définie à partir de la décomposition par : avec pour r la rotation vectorielle d'angle ( dans le plan vectoriel orthogonal à orienté par le choix de ce même vecteur . [...]

[...] ; an) de points de E et f une application affine de E vers E . L'image G'= est alors barycentre du système S'= (A1', a1) ; . ; (An', an) formé des images respectives par f des points de S affectés des coefficients d'origine. Ici aussi la démonstration est élémentaire. Partons de la définition barycentrique originelle, soit la relation : . En appliquant à cette égalité l'endomorphisme u associé à f on en déduit aussitôt par linéarité : , soit encore : Existence de points fixes. [...]

[...] Dire que f conserve la distance se traduit alors M'N'=MN , ou encore . On en déduit immédiatement la caractérisation suivante : Une application affine f est une isométrie affine si et seulement si son endomorphisme associé est une transformation orthogonale. _ Si on dira que f est un déplacement. _ Si on dira que f est un antidéplacement. Il est alors clair que la composée de deux isométries affines est encore une isométrie, que toute isométrie affine est bijective et de réciproque conservant également les distances. [...]

[...] _ Barycentrage par bloc. Soit S 'un sous système de S correspondant à la zone d'indexation { avec p(n. Supposons que le barycentre H de S ' existe et soit connu. Le barycentre du système total S est alors le barycentre du système réduit obtenu en remplaçant les p premiers points par le point H affecté de la somme partielle s'=a1+ +ap . La relation définissant soit : se simplifie en effet grâce à la formule de réduction appliquée au système partiel S ', en : Terminons avec la définition de l'isobarycentre d'un ensemble fini de n points de E. [...]

[...] Les calculs conduisent à . L'application f est alors composée de la rotation g d'axe passant par dirigé par , d'angle avec la translation de vecteur Notons R la rotation vectorielle d'axe orienté par , d'angle . C'est l'endomorphisme associé au vissage f. Il s'ensuit que l'image par f d'une droite quelconque ) passant par A sera la droite f(D)=d(A', , avec A'= f(A). Cette image sera sécante en A à D si et seulement si le vecteur est colinéaire à ) et si ne dirige pas l'axe de R. [...]