Fiche méthode : la géométrie dans l'espace

Résumé du document

Synthèse de Mathématiques portant sur la géométrie dans l'espace.

Extraits

[...] En d'autres termes, leur produit scalaire doit être différent de 0. Si c'est le cas, leur intersection est symbolisée par un point. Rappel du produit scalaire : soient les vecteurs et Le produit scalaire . = aa'+bb'+cc' ( . se lit : vecteur n scalaire vecteur n'). Si le résultat obtenu est nul, alors les vecteurs sont orthogonaux : L'expression le vecteur directeur d'une droite est fausse, car une droite a une infinité de vecteurs directeurs, cependant elle est utilisé pour faciliter la compréhension. [...]

[...] On applique maintenant la méthode de substitution, à savoir qu'on soustrait la 2ème ligne à la première ligne. On reporte le résultat dans la première ligne du système et on recopie une ligne au choix en dessous. Le calcul détaillé est le suivant : Nous avons donc l'équation paramétrique de : Ce résultat nous permet d'établir le vecteur directeur de : . On peut donc désormais déterminer un point A par lequel passe la droite d : A ;-11/10 ;7/10). [...]

[...] Les coordonnées de I doivent donc vérifier l'équation cartésienne du plan P et l'équalité paramétrique de ce qui voudrait dire que ce point appartient à la fois au plan et à la fois à la droite, donc I serait bien le point d'intersection. On remplace dans l'équation cartésienne de les coordonnées de I : x'+y'+z'+1=0 3-4t+1-4t6-4t+1=0 -12t+11=0 t=11/12 On vient de fixer le paramètre t=11/12 On remplace désormais t dans l'équation paramétrique de avec la valeur trouvée : On a donc définie les coordonnées du point I d'intersection du plan P et de la droite I ; ; 7/3). [...]

[...] II Détermination de l'équation paramétrée d'une droite marquant l'intersection entre deux plans ainsi que d'un point appartenant à cette droite Méthode théorique accompagnée d'une étude de cas Pour déterminer l'équation paramétrique d'une droite symbolisant l'intersection entre deux plans, il suffit de résoudre le système faisant intervenir les deux équations cartésiennes des plans et y introduire le paramètre t. Nous reprenons pour exemple les plans P et Q tel que : P : 2x+y+3z-1=0 Q : x+3y-z+4=0 Nous avons déjà démontré que ces deux plans étaient sécants, or l'intersection de deux plans est une droite Pour trouver l'équation paramétrique d'une droite il faut résoudre le système suivant : Pour résoudre le système il faut faire intervenir le paramètre c'est pour cela que l'on peut remplacer soit soit y ou soit z par t. [...]

[...] Même chose pour le vecteur normal à un plan. Soit le plan P tel que P : x+y+z+1=0 Et la droite tel que d : On va déterminer le point d'intersection entre le plan P et la droite en s'assurant tout d'abord qu'il existe. On pose vecteur normal à P avec et vecteur directement de avec . Il faut vérifier que l'intersection entre et existe, on calcule donc le produit scalaire : . = or - donc il existe bien un point d'intersection que l'on note I. [...]