Équations et inéquations du second degré

Thèmes abordés

équation du second degré, inéquation du second degré, polynôme du second degré, factorisation

Résumé du document

On appelle équation du second degré toute équation définie par ax^2+bx+c=0 avec a ; b et c des nombres réels et a?0.

Extraits

[...] Ici, ∆0 ; P admet deux racines distinctes x1=-b-∆2a ; x2=-b+∆2a ; on a le tableau de signe suivant : Signe de (Ici, on a supposé que x1 [...]

[...] Équations et inéquations du second degré Définition : ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ On appelle équation du second degré toute équation définie par ax2+bx+c=0 avec a ; b et c des nombres réels et a Exemples : 2x2+x-1=0 ; -x2+9x=0 ; 5x2+7=0 sont des équations du second degré. Résolution d'une équation du second degré Soit : ax2+bx+c=0 ; une équation du second degré ; b et c sont des nombres réels et a Pour déterminer les solutions de ; on peut déterminer son discriminant ; noté ∆ (lire delta) tel que ∆ = b2-4ac Propriétés Si ∆0 ; ax2+bx+c=0 admet deux solutions distinctes x1=-b-∆2a et x2=-b+∆2a Exemples Résolvons les équations suivantes ; 2x2+x-1=0 ; -x2+2x-1=0 ; 5x2+7=0 2x2+x-1=0 ; soit ∆ ; le discriminant de cette équation, on a ∆ = b2-4ac avec a=2 ; b=1 et donc ; ∆ = 12-42-1 ; ∆ =9. [...]

[...] Ici, ∆>0 donc l'équation 2x2+x-1=0 admet deux solutions distinctes x1=-b-∆2a=-1-92(2)=-1 ; x2=-b+∆2a=-1+92(2)=12 Les solutions de l'équation 2x2+x-1=0 sont et 12 -x2+2x-1=0 ; soit ∆ ; le discriminant de cette équation, on a ∆ = b2-4ac avec ; b=2 et donc ; ∆ = 22-4-1-1 ; ∆ =0. Ici, ∆=0 donc l'équation -x2+2x-1=0 admet une solution double x0=-b2a=-22(-1)=1 La solution de l'équation -x2+2x-1=0 est 1 5x2+7=0 ; soit ∆ ; le discriminant de cette équation, on a ∆ = b2-4ac avec a=5 ; b=0 et c=7 donc ; ∆ = 02-457 ; ∆ =-140. [...]

[...] ∆>0 donc, le polynôme 2x2+x-1 admet deux racines distinctes x1=-b-∆2a=-1-92(2)=-1 ; x2=-b+∆2a=-1+92(2)=12 Faisons le tableau de signe du polynôme 2x2+x-1 2x2+x-1 x -infinity -infinity 12 + + - Le polynôme 2x2+x-1 est négatif si et seulement si x appartient à l'intervalle 12 L'inéquation 2x2+x-1≤0 admet pour ensemble solution l'intervalle 12 L'inéquation -x2+2x0 ; ax2+bx+c=0 admet deux solutions distinctes x1=-b-∆2a et x2=-b+∆2a ; alors P est factorisable et sa forme factorisée est définie par : P(x)=ax-x1x-x2 Exemples : Factorisons chacun des polynômes suivants ; Px=2x2+x-1 ; Qx=-x2+2x-1 ; Rx=5x2+7 Px=2x2+x-1 a pour discriminant ∆ ; de plus, ∆>0 donc P est factorisable et admet pour racines x1=-b-∆2a=-1-92(2)=-1 ; x2=-b+∆2a=-1+92(2)=12 Px=2x+1x-12 est donc la forme factorisée du polynôme P Qx=-x2+2x-1 ; a pour discriminant ∆ donc le polynôme Q est factorisable et admet une racine double x0=-b2a=-22(-1)=1 Qx=-x-12 est donc la forme factorisée du polynôme Q Rx=5x2+7 ; a pour discriminant ∆ ; ∆ [...]