Généralités sur les polynômes : équations et inéquations de 2nd degré

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Lycée avec de nombreux exemples et différentes méthodes de résolution sur les polynômes.

Extraits

[...] Exemple : pour tout x de R , ax2 + bx + c = 5x + 1 Par identification des coefficients, on obtient: b=5 et c=1 II- Racines et factorisation d'un polynôme Définition: les racines ou zéros d'un polynôme p sont les solutions de l'équation = 0 = 5x2 6x = 5 x 22 6 x 2 = est une racine de p. Propriété : si le réel a est racine du polynôme alors p est factorisable par Il existe alors un polynôme q tel que = x Remarque: degré de q = (degré de 1ère méthode: par division = 5x2 6x La racine est le polynôme est donc factorisable par 5x2 6x - 8 x - 2 - ( 5x2 10x) 5x + 4x - 8 - (4x - 0 Conclusion: = 5x2 6x = ( x 2 ) ( 5x + 4 ) 2ème méthode x3 + 7 x2 16 x - est racine, p est factorisable par p est du 3ème degré, il existe donc 3 réels tels que , pour tout x de x3 + 7 x2 16 x 4 = ( x 2 ) ( a x2 + b x + c ) Développons ( x 2 ) ( a x2 + b x + c ) ( x 2 ) ( a x2 + b x + c ) = a x3 + bx2 + cx 2 a x2 2 bx 2 c = a x3 + ( b 2 a ) x2 + ( c 2 b ) x 2 c Comparons les deux expressions Par identification des coefficients: a = 1 b 2a = 7 c 2b = -16 c = a = 1 b = 9 c = 2 Donc = ( x 2 ) ( x2 + 9x + 2 ) III- Polynômes du second degré Ecriture sous la forme canonique = ax2 + bx + c = a (x2 + b x + c ) a a = a [ ( x + b ) 2 b2 + c ] 2 a 4 a2 a = a [ ( x + b ) 2 b2 4 a c ] 2 a 4 a2 Cette expression est appelée forme canonique d'un trinôme du 2nd degré. [...]

[...] ( x + b ) 2 b2 4 a c = 0 devient: 2 a 4 a2 ( x + b ) = 2 a 4 a2 si on obtient deux solutions distinctes: x' = - b + 2 a ou x'' = - b - 2 a Exemple de rédaction: x2 2x 3 = 0 C'est une équation du second degré : on calcule le discriminant du trinôme = b2 4 a c = 4 x 1 x = 16 > 0 il y a donc deux solutions (ou racines) distinctes x' = - b + = a Ou x'' = - b - = - a x2 2x 3 = 0 x = 3 ou x = Application: Factorisation d'un trinôme du 2nd degré = ax2 + bx + c avec a 0 Si > 0 : il y a 2 racines distinctes x1 et x2 et = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) Si = 0 : il y a une racine double x0 / 2a) et = a ( x - x0 Si 0 : il y a 2 racines distinctes x1 et x2 = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) Supposons x1 0 le trinôme ax2 + bx + c est du signe de a pour tout x extérieur aux racines. 2ème cas : Si = 0 : il y a une racine double x0 = a ( x - x0 est du signe de a pour tout x différent de - b/2a a > 0 OU a [...]

[...] Généralités sur les polynômes- Equations et Inéquations du 2nd degré Généralités sur les polynômes Une fonction polynôme est une fonction numérique qui peut s'écrire sous la forme = an xn + an-1 xn-1 + . + a1x + a0 Où a0, a1, a an sont des nombres réels donnés appelés coefficients. x est la variable. [...]

[...] Si an 0 le polynôme est de degré n Exemple: = + + x4 = x4 + 2x2 + 2 C'est un polynôme du 4ème degré. Le coefficient de x4 vaut 1 Celui de x3 vaut 0 Celui de x2 vaut 2 = 2x + 1 est un binôme du premier degré = 3 est un polynôme de degré 0 = 0 est le polynôme nul: par convention ,il n' a pas de degré. -Polynômes identiques Si pour tout x de R = Alors p et q sont identiques Propriété: Si 2 polynômes sont identiques, alors leurs coefficients sont égaux. [...]