Les équations différentielles - publié le 30/06/2010

Résumé du document

Synthèse de Mathématiques niveau Prépa sur les équations différentielles.

Extraits

[...] et a 0 On pose l'équation caractéristique de : a + b r + c = 0 Si > l'équation caractéristique admet deux racines différentes et et = y : t + / ( , ) Si = l'équation caractéristique admet une racine double et = y : t ( t + ) / ( , ) Si [...]

[...] Soit I un intervalle de , non vide, non réduit à un point. On étudie y : I K t Une équation différentielle est une relation entre y est ses dérivées ; ; ; . L'ordre de l'équation est le plus haut degré de dérivation. (comme ordre c'est à dire relation entre y et où Y est de classe II Equation différentielle linéaire du premier ordre. Où est le membre. On associe à l'équation + a(t)y = 0 qui est l'équation homogène. [...]

[...] Tester sur des fonctions simples comme t cst t α t t *Méthode 2 : méthode de la variation de la constante. Complément : principe de superposition. Exemple : + 2y = + + 2y = 0 : résolution Soient , solution particulière de ( + 2y = , solution particulière de ( + 2y = , solution particulière de ( + 2y = 1 Donc = + + est solution particulière de par le principe de superposition. III Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. [...]

[...] d ðìðæìÛÔÌÈÄ·ª??ƒÄ q qfq XÈPÈh%`èB* phjh%`èU mHnHu j@ahl!zh%`èU jhl!zh%`èU hl!zh%`èhe?h5e>* B*phÿhe?hìµ>* B*phÿhe?h%`è l'ensemble des solutions de l'ensemble des solutions de Alors = + où t , on pose = où est un polynôme et est Niveau enseignement supérieur Mathématiques : Les équations différentielles Mathématiques Les équations différentielles On rappelle que : a + b + cy = équation caractéristique de a + b r + c = 0 - Si n de n'est pas racine de l'équation caractéristique, on prend = - Si n de est racine simple de l'équation caractéristique, on prend = - Si n de est racine double de l'équation caractéristique, on prend = Puis on pose avec des inconnues et t comme variable. On dérive deux fois, on remplace dans et on détermine les inconnues. [...]

[...] Résoudre c'est trouver les applications y telles que : - y est sur I. - t I , + = Les courbes représentatives des solutions sont appelées courbes intégrales. Résolution de l'équation homogène. Structure de l'ensemble des solutions. Ѕ ( Il y en a une infinité Si et sont des solutions de alors λ + est aussi solution. (où λ K). Si on connaît , solution de non nulle, alors = Cst où Cst K Résolution avec second membre. [...]