Equations différentielles linéaires scalaires du second ordre

Résumé du document

Cours de Mathématiques de Classe préparatoire aux grandes écoles sur la résolution des équations différentielles linéaires scalaires du second ordre.

Extraits

[...] On considère l'équation différentielle linéaire scalaire homogène du second ordre normalisée y + ay + by = 0. Soit f2 ) un couple de solutions sur I de Alors leur wronskien Wf1 ,f2 est de classe C 1 sur I et solution sur I de l'équation homogène du premier ordre Wf1 ,f2 + aWf1 ,f2 = 0. 2009- Démonstration : On a Wf1 ,f2 = f1 f2 f2 f donc Wf1 ,f2 est de classe C Wf 1 sur I et = f1 f2 f2 f1 = f1 af2 ) f2 af1 ) = −aWf1 ,f2 car f1 et f2 sont solutions de Remarque : Soit x0 un point de I. [...]

[...] Théorème I.4 Soit α, β et γ trois fonctions continues sur I. L'ensemble des solutions sur I de αy + 2 βy + γy = 0 est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel DI des fonctions deux fois dérivables sur I. Démonstration : Il s'agit du noyau de l'application ϕ: qui est linéaire. DI y 2 αy F + βy + γy Théorème I.5 On suppose que admet une solution f0 sur I Alors, on a l'équivalence f solution de sur I f f0 solution de sur I. [...]

[...] On considère l'équation différentielle linéaire scalaire du second ordre normalisée y + ay + b = c. Soit f2 ) un système fondamental de solutions de l'équation homogène associée. Pour que la fonction f0 définie par f0 = λ1 (x)f1 + λ2 (x)f2 avec λ1 et λ2 de classe C 1 sur I soit solution de il suffit que, pour tout x de le couple (λ1 λ2 soit solution du système λ1 (x)f1 + λ2 (x)f2 = λ1 (x)f1 + λ2 (x)f2 = Démonstration : Soit λ1 et λ2 deux fonctions de classe C 1 sur telles que, pour tout x de le couple (λ1 λ2 soit solution du système λ1 (x)f1 + λ2 (x)f2 λ1 (x)f1 + λ2 (x)f2 = . [...]

[...] Les fonctions f et f sont continues sur I donc f On fixe x0 dans I. L'application ψx0 définie par ψx0 : S0 f est continue sur I et f est bien de classe C sur I. K (f(x0 f (x0 2 est linéaire. Le théorème II.1 de Cauchy appliqué à l'équation permet de montrer que ψx0 est bijective ; c'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels. Les deux espaces vectoriels S0 et K ont par conséquent la même dimension qui vaut 2. [...]

[...] Il en résulte que toute famille libre f2 ) de S0 forme une base de S Définition III.2 (Système fondamental de solutions de Soit a et b deux fonctions continues sur l'intervalle I ; on considère l'équation différentielle linéaire scalaire homogène du second ordre normalisée y + ay + by = 0. On appelle système fondamental de solutions de toute base de S c'est-à-dire tout couple f2 formé de deux éléments linéairement indépendants de S Remarque : L'espace vectoriel S0 est donc l'ensemble des applications du type x λ1 f1 + λ2 f2 où λ1 et λ2 sont des constantes quelconques dans K 2009-2010 Exercice 3 Trouver tous les polynômes solutions de x2 + 2xy 2y = 0 puis achever la résolution de l'équation différentielle sur et III.2 Cas des équations différentielles du second ordre à coefficients constants, révisions de première année y + ay + by = 0 Soit K2 (des constantes) et L'équation caractéristique associée est r2 + ar + b = 0 Le cas complexe : Lorque χ admet deux racines distinctes r1 et r toute solution complexe de est de la forme : y : x = λ1 er1 x + λ2 er2 x où (λ λ2 ) C2 sont des constantes complexes. [...]