Equations différentielles - généralités, premier et second ordre, exercices corrigés

Résumé du document

Soit n un entier non nul, D une partie du produit cartésien R×C^(n+1) et F une application de D vers C. Résoudre l'équation différentielle (E) : F(x, y, y',...., y(n))=0 signifie déterminer toutes les fonctions y de variable réelle, à valeurs dans C, dérivables au moins à l'ordre n en tout point de leur ensemble de définition I et telles que pour tout x de I'on ait : F(x, y(x), y'(x),....., y(n)(x)=0 .

L'entier n sera appelé ordre de l'équation (E). C'est le plus grand indice de dérivée successive de la fonction y intervenant explicitement dans (E).
Remarquons que la variable est nécessairement réelle mais que pour les images, nous considérons le cas le plus général de fonctions à valeurs dans C.

La résolution complète d'une équation différentielle est un des problèmes les plus délicats de l'Analyse, et ceci même pour des petits ordres. En effet, l'inconnue étant de type fonction, on n'échappera pas aux interrogations classiques liées à ce concept :

_ Sur quels ensembles I peut-on effectivement définir des solutions de (E) ?
_ Pourra t-on toujours expliciter la correspondance x ay(x) au moyen de fonctions usuelles ?

Pour répondre à ces questions, rappelons que les principaux théorèmes concernant le calcul différentiel et intégral ont été établis pour des fonctions définies sur un intervalle de R.
Il faut donc s'attendre à ce que cette notion d'intervalle joue donc ici aussi un rôle essentiel.

On commencera donc en règle générale par déceler des solutions éventuelles de l'équation proposée définies sur un intervalle I de l'ensemble des réels.
Les problèmes dits de ‘raccordement' de solutions définies sur des intervalles juxtaposés seront abordés dans les exercices (corrigés).

Extraits

[...] 2a L'équation en z est alors réduite à z''=0 et conduit successivement à z'=λ constante sur puis à z=λx+ µ avec µ constante complexe arbitraire. Les solutions générales de sont donc définies sur I par : y ( = (λx + µ)e b x 2a Ici encore on obtient une structure de plan de base couple défini par les formules respectives : y1 ( = e b x 2a et y2 ( = x.e b x 2a Expression des solutions à valeurs réelles. [...]

[...] Analysons les différentes étapes de cette résolution. Résolution de l'équation homogène associée : : a(x)y'+b(x)y= Commençons par mettre cette équation sous la forme équivalente : = x ) .y (La fonction a est supposée ne s'annulant pas sur l'intervalle I). Si on restreint la recherche aux solutions y ne s'annulant aussi en aucun des points de on x ) peut alors séparer les variables en divisant par ce qui donne : y a ( Réduisons encore l'étude en imposant des valeurs réelles à la fonction inconnue. [...]

[...] Résoudre l'équation différentielle : y' signifie déterminer toutes les fonctions y de variable réelle, à valeurs dans dérivables au moins à l'ordre n en tout point de leur ensemble de définition I et telles que pour tout x de I on ait : y'(x) L'entier n sera appelé ordre de l'équation C'est le plus grand indice de dérivée successive de la fonction y intervenant explicitement dans Remarquons que la variable est nécessairement réelle mais que pour les images nous considérons le cas le plus général de fonctions à valeurs dans C. La résolution complète d'une équation différentielle est un des problèmes les plus délicats de l'Analyse, et ceci même pour des petits ordres. En effet l'inconnue étant de type fonction, on n'échappera pas aux interrogations classiques liées à ce concept : _ Sur quels ensembles I peut on effectivement définir des solutions de ? [...]

[...] Introduisons comme nouvelle inconnue la fonction z définie sur I par z = L'équation proposée se traduit alors 2 z + 2 = 1 + z ou encore en regroupant les variables : (z-1)²=2xz' . Puisque x > 0 et que l'on recherche uniquement les solutions telles que y [...]

[...] Elle est donc strictement croissante, z continue sur l'intervalle et réalise donc d'après le théorème classique d'inversion une bijection entre J et l'intervalle La réciproque x a est alors dérivable en tout point de I et satisfait bien sur cet intervalle à la relation imposée : z ln(1 + z ) = x + λ Si on revient à l'inconnue d'origine la relation précédente se traduit par l'équation cartésienne x + y + 1 ln(1 + x + y + = x + λ définissant une courbe intégrale C λ Notons pour terminer que le tracé de cette courbe pourra s'effectuer en paramétrant à l'aide de x = g ( z=x+y+1. On obtient en effet la correspondance : z a M y = z g ( 1 6. [...]