La division euclidienne : congruences, critères de divisibilité, etc.

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Cours de Mathématiques niveau Lycée sur la division euclidienne : congruences, opérations, divisibilité, critères de divisibilité...

Extraits

[...] Le seul entier relatif appartient à est 0 donc q1 q2 = 0 q1 = q2 r2 r1 = b(q1 q2) = 0 d'où r1 = r2 Le couple ; est donc unique Congruences Définition-Conséquences Définition : Soit un entier naturel > on dit qu'un entier relatif a est congrue à un entier relatif a modulo n si a et ont le même reste dans la division euclidienne par n. On écrit : modulo n ou : mod n ou : Propriétés : Soit n un entier naturel > 2. [...]

[...] + a1 * 101 + a0 * 100 avec Divisibilité par 2 et entier naturel est divisible par 2 (resp. par ssi son chiffre des unités est ou 8 (resp ou Divisibilité par 2 et 3 Un entier naturel est divisible par 3 (resp. par ssi la somme de ses chiffres est divisible par 3 (resp. par Divisibilité par 11 Un entier naturel est divisible par 11 ssi la différence de la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de rang impair est divisible par 11. [...]

[...] Division euclidienne Division euclidienne d'un entier relatif par un entier naturel non nul Théorème et définition : Quels que soient l'entier relatifs a et l'entier naturel il existe un unique couple ; appartenant à tel que a = bq + r et Déterminer ; c'est effectuer la division euclidienne de a par b avec : a est le dividende b est le diviseur q est le quotient r est le reste Démonstration : existence : 1er cas : Soit E l'ensemble des entiers naturels tels que kb > a. Soit E = { / kb > Montrons que E n'est pas vide Supposons que E est vide alors pour tout entier naturel k : b > 0 donc Ceci est absurde donc E n'est pas vide. E est une partie de non vide donc E a un plus petit élément. On le note q'. [...]

[...] Opérations et congruences Théorème : Soit n un entier naturel > à 2. Quels que soient les entiers relatifs b et b'. Si a = mod n et si b = mod n alors a + b = + mod n a b = mod n ab = mod n Pour tout entier naturel k non nul, ak = a'k mod n Démonstration du 3. a = mod n donc n/a Il existe un entier relatif k tel que a = nk, c-à-d a = + nk b = mod n donc n/b Il existe un entier relatif tel que b = c-à-d b = + nk' ab = + + = + a'nk' + nkb' + n^2kk' = a'nk' + nkb' + n^2kk' = + kb' + nkk') + kb' + nkk' Z donc n/ab Comme n/ab alors ab = mod n Critères de divisibilité On admet que tout entier naturel N non nul s'écrit de façon unique sous la forme : an * 10n + an 1 * 10n 1 + . [...]

[...] Quels que soient les entiers relatifs a et mod n si n/a Conséquences : , n > 2 et On effectue la division euclidienne de a par n a = qn et a r = qn donc a r d'où mod n Réciproquement, On a : mod n et 0 2. Soit a un entier relatif, r est le reste de la division euclidienne de a par n ssi a = r mod n et 0 [...]