Les ensembles mathématiques

Résumé du document

En dehors des formes algébriques usuelles , il existe de multiples façons de représenter des ensembles. Citons les graphes (les arbres), les cercles et principalement les cercles d'Euler, mais également les tableaux, et plus rarement les graphes hypercubes. Nous explorerons les représentations sous la forme des tableaux de Karnaugh un peu plus loin (...)

Extraits

[...] Boole exposa en 1847 des règles de raisonnement humain. Il est vrai que les bases de la logique de la pensée étaient posées par les philosophes antiques, tels que Platon ou Aristote depuis belle lurette. Cette logique intarissable dans sa complexité, occupe encore des pans entiers de la réflexion intellectuelle. L'originalité de l'approche de Boole a été de restreindre la logique à sa plus simple expression sur un alphabet de 2 éléments. Cela est également dû à l'intérêt subit des mathématiciens qui ont vu là un domaine sérieux qu'ils délaissaient depuis fort longtemps, et qui soudainement risquait de leur échapper. [...]

[...] En effet : dH (15,13)10 = dH (1111,1101)2 = 1 dH (15,14)10 = dH (1111,1110)2 dH (15,7)10 = dH (1111,0111)2 dH (15,11)10 = dH (1111,1011)2 Si l'on prend comme référence la case nous constatons qu'elle est adjacente de la case et 6. De la même façon la case 11 est adjacente des cases et 3. Nous pouvons donc considérer l'aspect ‘circulaire' des variables au niveau horizontal et vertical. Globalement on peut considérer le tableau sur une sphère. Pour les variables touchant un pôle, la case adjacente de une unité est celle qui est polairement opposée géométriquement. [...]

[...] Représenter un nombre de variables supérieur à devient quasiment impossible pour qui n'a pas fait les Beaux Arts. Diagramme d'Euler Diagramme de Venn page 12 13-2/ Les hypercubes et diagrammes de Hasse Pour cette méthode, également, il faut posséder de réelles qualités de dessinateur. Quelques représentations 13-3/ Les tableaux de Veitch et de Karnaugh CD\AB Karnaugh CD\AB Veitch Ces représentations sont les plus répandues car faciles à mettre en oeuvre. Elles ne demandent pas de qualités artistiques de la part de ces utilisateurs, comme pour les méthodes précédentes. [...]

[...] Algèbre de Boole L'algèbre de Boole consiste à raisonner sur des constantes, des variables, des expressions et des fonctions logiques. - Une constante est une quantité invariable : 0 ou 1. - Une variable est une quantité qui prend à un moment la valeur 0 ou 1. - Une expression logique est un assemblage de variables reliées par des opérateurs. - Une fonction logique caractérise la relation existant entre deux expressions logiques. Les opérations de base en logique sont la négation, le logique', et le logique'. [...]

[...] e Monal : somme de littéraux Exemple: a+b+d Expression pi-sigma (Π : produit de sommes Exemple: ( a + b + c a + c + d ) Expression sigma-pi Π) : somme de produits Exemple: ( a . c ) + ( b. c. d ) + ( b . c ) page 9 Dans une expression logique mettant en jeu ‘n' variables, nous pouvons voir apparaître des termes composés de moins de n variables. Cela signifie que des réductions ont été opérées. Exemple : S = ( b. c ) + ( a . c. [...]