Logique et ensembles

Résumé du document

On appelle proposition, toute phrase grammaticalement correcte ou formule bien formée, qui est soit vraie, soit fausse.

La valeur de vérité d'une proposition est le vrai, soit le faux. Deux propositions qui ont la même valeur de vérité sont dites équivalentes.

On appelle prédicat, toute expression incomplète du type « ... est positif » qui devient une proposition, si on la complète par un nom d'objet. Eventuellement, le prédicat peut porter sur plusieurs noms d'objets « ... est plus âgé que ... » (...)

Extraits

[...] La permutation d'un et d'un n'est pas aussi facile. La négation La négation de est La négation de est Pour obtenir la négation d'une proposition faisant intervenir plusieurs quantificateurs, on reprend la proposition en remplaçant les en et les en , le tout en niant le prédicat. Le raisonnement par récurrence On peut utiliser le raisonnement par récurrence pour démontrer la proposition Récurrence simple Le principe de récurrence simple consiste à prouver : L'initialisation, c'est-à-dire vrai. L'hérédité, c'est-à-dire Récurrence double Le principe de récurrence double consiste à prouver : L'initialisation, c'est-à-dire et vrai. [...]

[...] Les objets qui le composent sont ses éléments. Si est un élément de , on écrit , sinon on écrit . On note l'ensemble vide qui n'a pas d'élément. Un ensemble qui ne contient qu'un seul élément est appelé un singleton. Il existe différents procédés pour décrire un ensemble donné. Notons l'ensemble des entiers naturels pairs : Parties d'un ensemble L'ensemble est inclus dans tous les ensembles. Principe de double inclusion Soient et deux ensembles Opérations sur les ensembles Lorsque , on dit que et sont disjoints. [...]

[...] non ( et ) et (non ) ou (non ) sont équivalentes. L'implication : L'implication de par notée est la proposition (non ) ou Table de Vérité L'implication répond à la question suivante : Le fait que soit vrai entraine-t-il le fait que soit vrai ? Et la réponse est : OUI. Mais l'implication ne permet pas de déduire si le conséquent est vraie si l'antécédent est faux. L'implication contraposée de est (non ) (non ) Table de Vérité Règle de contraposition L'implication et sa contraposée (non ) (non ) sont équivalentes. [...]

[...] Mathématiques Chapitre I : Logique & Ensembles 01/09/2009 Lycée H. Bergson Laurence Padiolleau Sommaire Eléments de logique classique 2 Connecteurs logiques 2 La négation : non 2 Disjonction : ou ; Conjonction : et 2 L'implication : 2 L'équivalence : 3 Conditions nécessaires Conditions suffisantes 3 Les quantificateurs 4 Le quantificateur universel : 4 Le quantificateur existentiel : 4 Le raisonnement par récurrence 4 Récurrence simple 4 Récurrence double 5 Récurrence forte 5 Les ensembles 5 Ensembles et éléments 5 Parties d'un ensemble 5 Principe de double inclusion 5 Opérations sur les ensembles 5 Logique & Ensembles Eléments de logique classique On appelle proposition, toute phrase grammaticalement correcte ou formule bien formée, qui est soit vraie, soit fausse. [...]