Ensembles et dénombrement

Thèmes abordés

Ensembles, applications, dénombrement, regroupements d'objets mathématiques, produit cartésien

Résumé du document

Considerer des ensembles, c'est-a-dire des regroupements d'objets mathematiques qui ont des propriétés communes et qui présentent un interêt à être regroupés, est aussi vieux que les mathematiques. Mais la version moderne de la théorie des ensembles date de lafin du XIXe siècle.

Extraits

[...] Une famille (Ai de parties de Ω est une partition de Ω e lorsque : Ai = Ω I = j Ai Aj = On note parfois : Ai = Ω. En d'autres termes, (Ai est une partition de Ω si, tout ´l´ment de Ω appartient ` un et un seul Ai , ce qui s'´crit encore : ee a e ( Ai = Ω) Ω, x Ai Exemple 1.4 Soit E = 4}. Les sous-ensembles et forment une partition de E. Proposition 1.1 Soient C des ensembles. C = C = Plus g´n´ralement, soient (Ai et B des ensembles. [...]

[...] Il est not´ CE A. On a donc : ee e x CE A E et x A). ıt´ CE A est aussi not´ A s'il n'y a pas d'ambigu¨ e sur E. e Proposition 1.2 Soient B et les Ai des parties d'un mˆme ensemble E. Alors : e Plus g´n´ralement : e e Ai = ; A B = A B. Ai et Ai = Ai . Remarque : Si A est une partie d'un ensemble A et A forment une partition de E. [...]

[...] e e E est l'ensemble de d´part de f et F l'ensemble d'arriv´e de f. e e L'ensemble des applications de E dans F est not´ F e Exemples 2.1 L'application identit´ de E est not´e IdE . C'est l'application IdE : e e L'application somme est + : R2 R x+y E x E x D´finition 2.2 Deux applications f et g sont ´gales si et seulement si e e e e f et g ont le mˆme ensemble de d´part E f et g ont le mˆme ensemble d'arriv´e F e e f = 2.2 composition D´finition 2.3 Soient f une application de E dans F et g une application de F dans G. [...]

[...] Mais la version moderne de la th´orie des ensembles date de la fin du XIX`me si`cle. e e e 1.1 Ensembles et ´l´ments ee D´finition 1.1 On d´finit un ensemble E par les ´l´ments qui lui appartiennent ou qui ne lui e e ee appartiennent pas. Si x est ´l´ment de on dit que x appartient ` et on note x E. ee a Si x n'appartient pas ` on note x E. a / Remarque : Cette d´finition est dat´e, on sait aujourd'hui qu'elle ne convient pas, car elle aboutit e e a ` des contradictions. [...]

[...] Plus g´n´ralement, p ) = . e e Exemple 3.1 Soit E un ensemble ` 4 ´l´ments, e e e3 et e et F un ensemble ` 3 ´l´ments a ee a ee f f2 et f On peut visualiser E F ainsi : f1 f2 f3 e1 f1 ) f2 ) f3 ) e2 f1 ) f2 ) f3 ) e3 f1 ) f2 ) f3 ) e4 f1 ) f2 ) f3 ) E F a bien 4 3 = 12 ´l´ments. [...]