Énoncés et corrections de l'exercice 1 du bac S de mathématiques 2019

Thèmes abordés

Énoncés et corrections bac S, exercice 1 bas S mathématiques 2019, nombres réels, limite d'une fonction, point méthode, fonction décroissante, fonction exponentielle, équations, courbes, axes de symétrie, identité remarquable

Résumé du document

Ce document est un corrigé proposé pour l'exercice 1 du bac S de mathématiques pour l'année 2019. Dans la partie A, on considère la fonction f définie sur l'ensemble R de nombres réels. Il s'agit d'abord de déterminer la limite d'une fonction. Point méthode : il faut ici utiliser des limites usuelles à connaitre par coeur (vous pouvez toujours utiliser votre calculatrice pour conjecturer les limites au cas où vous ne seriez pas sûr, mais mieux vaut les connaitre).

Extraits

[...] Partie C On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel. On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite dans la partie précédente, espacés de 1.5 mètres, comme indiqué sur le schéma ci- dessous. Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma par le rectangle ABCD de largeur 1 mètre et de longeur 2 mètres. On souhaite connaitre la quantité, exprimée en m2, de bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre. [...]

[...] De plus, pour la façade sud, il s'agit de la même aire à laquelle on a enlevé l'aire du rectange ABCD, c'est-a-dire : Ainsi pour les deux façades : De plus, comme nous l'avons vu, la fonction f est paire : Donc . 2-On prend 1.92 pour valeur approchée de α. Déterminer, au m2 près, l'aire totale de la bâche en plastique nécessaire pour réaliser cette serre. Puisque α = 1.92 : A = 14 ∗ 1.92 − 2(e 1.92 − e− 1.92 ) − 2 Maintenant, déterminons l'aire de la bâche recouvrant le dessus de la serre. Il s'agit de rectangles de longueur eα −e−α (question 2-b partie et de largeur 1m50. [...]

[...] La fonction f et le réel α sont définis dans la partie A. Dans la suite de l'exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe C de la fonction f sur l'intervalle [α;−α]. On a représenté ci-dessous la courbe C sur l'intervalle [α;−α]. On admettra que la courbe C admet l'axe des ordonnées pour axe de symétrie. Calculer la hauteur d'un arceau. Ici, la hauteur recherchée correspond à la différence entre le maximum et le minimum de f sur [α;−α]. Nous avons vu que f était strictement décroissante sur [0;+∞[. [...]

[...] En remarquant que, pour tout réel = justifier que l'équation admet exactement deux solutions dans R et qu'elles sont opposées. Pour tout réel En particulier f(α)=f(−α)=0 Ainsi,l'équation admet exactement deux solutions opposées dans R. Partie B Les serres en forme de tunnel sont fréquemment utilisées pour la culture de plantes fragiles; elles limitent les effets des intempéries ou de variations de température. Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique. [...]

[...] De plus, nous avons montré que f était paire (question A-2). Donc f est croissante sur ]−∞;0]. La fonction f admet donc un maximum en 0 et son miminum est atteint en α et −α. Par conséquent, = 2,5m 2-a Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbe C sur l'intervalle [0;α]. On admet que cette longueur est donnée en mètre, par l'intégrale : Montrer que pour tout réel on a : . [...]