Énoncés et correction de l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1re année de l'École Polytechnique de Yaoundé (juillet 2019)

Thèmes abordés

Sciences - Ingénierie - Industrie, Énoncés et correction, épreuve de mathématiques, concours d'entrée, 1re année de l'École Polytechnique de Yaoundé, juillet 2019, solutions d'équations, produit abcd, lieu géométrique, plan complexe, rotation, angles, affixe

Résumé du document

La première épreuve de mathématiques dure trois heures. Cette épreuve comporte deux exercices et un problème à traiter obligatoirement. Le candidat
tiendra le plus grand compte de la clarté et de la précision dans la rédaction. Les calculatrices sont autorisées.

Extraits

[...] [ 0.5 pt] −−→ −→ [ 0.5 pt] Soit G l'image G par r et J le milieu de [AD]. Justifier que G0 J = 43 N J. Exprimer les aires IAM et M DN en fonction de x. [ 0.5 pt] Montrer que l'aire A1 du trapèze BCN I en unité d'aire est A1 = 27 − 3x. [ 0.25 pt] Déduire que l'aire du triangle IM N en unité d'aire est A2 = 12 x2 − 32 x + 9. [...]

[...] CORRECTION : Deuxième épreuve de Mathématiques Exercice 1 ea + eb + ec = 1 D'une part, et d'autre part, b = a + r et c = a + 2r. a b c = 1 a e − er + 2e e + e + e2r ) = 1 On obtient qui fournit 2er = e2r ⇐⇒ er = 2 ⇐⇒ r = ln2. ea − er + 2e2r ) = 1 On en déduit les valeurs a = ln b = ln 27 et c = ln V = E(X 2 ) − = E(X 2 ) − 1 = ea + eb + 4ec − 1 = 17 + 27 + 16 − = 19 − = L'abscisse de G sur est 1. [...]

[...] [1pt] Donner la nature de fλ pour λ = 0. [ 0.5 pt] Dans cette question, on suppose que M est un point fixe du plan. Démontrer que lorsque λ décrit l'ensemble des points M 0 du plan tels que M 0 = fλ ) est une droite DM . [1pt] Montrer que Partie B [6points] Soit g l'application du plan dans lui-même qui à tout point M d'affixe z associe le point M 0 d'affixe z 0 = az + b où a 0 et b sont des nombres complexes. [...]

[...] L'angle de la rotation r est mes(AM , DN ) = − π2 En appliquant la propriété de Pythagore dans le triangle OM on a : OM 2 = M J 2 + JO2 = − x)2 + 9 = 18 − 6x + x2 = 18 − 6AM + AM De manière similaire, on montré que ON 2 = 18 − 6DN + DN 2 = 18 − 6AM + AM 2 = OM • D'une part, comme nous avons des distances, OM 2 = ON 2 ⇐⇒ OM = ON . −−\ → −−→ −→ −→ \ • D'autre part, mes(OM , ON ) = mes(OI, OJ) = − π2 −−→ −−→ (a)AM = k DM . −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ x −−→ x On a AM = x6 AD = x6 (AM + M d'où l'on tire AM = DM . [...]

[...] [1pt] ENONCÉ : Deuxième épreuve de Mathématiques (3heures) Le candidat traitera toutes les questions sans exception aucune Exercice 1 [ 3.75 points] Soit une variable aléatoire X d'univers = −1; avec les probabilités : P = = ea , P = −1) = eb et P = = ec où b et c sont en progression arithmétiques. On suppose que l'espérance mathématiques de X est égale à 1. On suppose que la raison de la suite est r. Déterminer les valeurs exactes des réels b et c. [...]