Les développements limités : généralités, opérations, etc.

Résumé du document

- Soit une fonction définie dans un voisinage de zéro, mais pas forcément en zéro, alors F admet un DL (Développement Limité) à l'ordre n avec n E N au voisinage de zéro.
- S'il existe un polynôme P de degré inférieur ou égal à n tel que : f(x)-P(x)=o(xn) donc lim (...)

Extraits

[...] lim III-Opérations sur les DL 1-La somme Pour faire la somme de DL, il faut que les DL soient tous de même ordre. On a alors : lim 2-Le produit soient les DL des fonctions f et le produit des DL est alors : =P(x)Q(x)+xn(P(x)E2(x)+Q(x)E1(x)+xnE1(x)E2(x)) lim (P(x)E2(x)+Q(x)E1(x)+xnE1(x)E2(x))=0 On réalise le produit des parties régulières et on garde les termes de degré inférieur ou égaux à n. Il vaut mieux éviter le produit de DL car il reste une opération difficile à réaliser qui entraîne de nombreuses erreurs de calcul. [...]

[...] - S'il existe un polynôme P de degré inférieur ou égal à n tel que : donc lim -On pose donc lim donc - - lim ou f(x)=a0+a1x+a2x²+ . +anxn+o(xn) 2-Remarque Si f est définie seulement à droite de zéro, alors on a un DL à droite de zéro. De même pour un DL à gauche de zéro. Si lim f(x)=a0 alors on peut prolonger par continuité en posant f(0)=a0. Si lim alors f est dérivable en zéro et f'(0)=a1. Si f admet un DL, ce DL est unique. Si f admet un DL à l'ordre n alors f admet un DL à l'ordre inférieur à n. [...]

[...] 7-DL d'une fonction logarithme On doit impérativement avoir lim g(x)=a0 1ere méthode : f et ceci est possible car on a vu précédemment que g(0)=a0. Et on effectue la division selon les puissance croissantes. 2eme méthode : On factorise par a0 On sépare en deux logarithmes On calcule ln avec 8-DL d'une fonction généralisée On considère le DL de la fonction g. La fonction g possède un DL donc eg possède un DL au voisinage de zéro. On sépare alors en deux exponentielles avec une à a0. [...]

[...] +xn/n!+xnE(x) lim On procèdera de même pour les autres fonctions nommées et leurs DL sont: Cos . +(-1)p(x2p/2p!)+x2pE(x) lim Sin . lim . . lim c-Remarque Cette méthode ne s'applique que si l'on est capable de calculer toute les dérivées de f. 4-Recherche d'un DL par changement de variable a-Méthode Si on connaît le DL de à l'ordre n,on 3 limE(x)=0 Et on peut calculer lim mais on ne peut réaliser cette opération que si b-Exemples Par exemple, si l'on cherche le DL de e-x on pose ce qui est possible car lorsque et on renplace x par dans le DL de ex. [...]

[...] C'est la même chose pour une fonction impaire. 3-Autres Définitions Soit f définie dans un voisinage de x0, si f admet un DL à l'ordre n au voisinage de x0 et si il existe P de degré inférieur ou égal à tel que: alors ->lim x->x0 Soit f une fonction définie en l'infini, alors f admet un DL à l'ordre au voisinage de l'infini si il existe P et que le degré de P est inférieur à n tel que: 1 alors ->lim 4-Remarque Importante Dans tout le chapitre, on ne fera des calculs de DL qu'au voisinage de zéro. [...]