Les développements limités - publié le 17/06/2010

Résumé du document

Cours de Mathématiques sur les développements limités et leurs usages. Celui-ci est composé de nombreux exemples et de quelques exercices de synthèse pour s'entraîner.

Extraits

[...] x(cos x chx) lim x sin . x 4.2 Application des eveloppements limit´ es ` a la recherche des equivalents La notion de “fonctions ´equivalentes” n'est pas seulement une ´etape interm´ediaire dans les calculs de limites, elle permet aussi de pr´eciser le le comportement asymptotique de suites et de fonctionscomme on l'a vu dans aux chapitres pr´ec´edents. Losqu'une fonction f admet un en point x0 fini ou infini un d´eveloppement limit´e, alors le premier terme non nul de ce d´eveloppement fournit un ´equivalent de f en x Exercice d'application 6 D´eterniner un ´equivalent au voisinage de 0 de ln cos x 1. [...]

[...] x = sin(ln(1 + ln(1 + sin Application des eveloppements limit´ es ` a l'´ etude des branches infinies Si une fonction f admet, au voisinage de ou un d´eveloppement limit´e de la forme c , f = ax + b + k + k ε x x x avec k , alors la droite est une asymptote oblique la courbe Cf d'´equation y = f De plus, si c le signe de c et la parit´e de k permettent de d´eterminer la position de la courbe par rapport ` a l'asymptote. Exercice d'application 7 Comportement asymptotique au voisinage de et de x 1. x f = ex ; 2. x = x2 arctan x = e x 1 ; x p x(x + Exercices de synth` ese Exercice 1 D´eterminer le DL3 de x f = ex x . Exercice D´eterminer le DL4 de x f = ln cos x et de x = ln chx. [...]

[...] eor` eme 1 Si f admet un DLn alors ce d´eveloppement est unique. En effet, a0 = f puis a1 = f a0 et plus g´en´eralement, lorsque a a x lim sont d´etermin´es, ak = f a0 a1 x a2 x2 xk lim eveloppement ` a l'ordre p [...]

[...] Exemple d'application : = = 1 + 2x + 3x2 + + + 1)xn + xn ε(x). x)2 2.5 Int´ egration Si f admet pour DLn donn´e par la formule f = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn + xn ε1 Z x alors la primitive F de f qui s'annule en z´ero (soit F = f admet un DLn+1 donn´e par la formule Z 0 x f (t)dt = a0 x + a x2 xn+1 + + an + xn+1 ε2 Exemples Soit n d´eterminons le DLn de x ln(1 + x). [...]

[...] tan x = 1 cos t eveloppement limit´ e eralis´ e On dit qu'une fonction f , d´efinie sur un intervalle admet un d´eveloppement limit´e ` a 1 l'ordre n en (qu'on notera DLn si la fonction X f ( ) admet un d´eveloppement X limit´e l'ordre n ` a droite en 0. On ´ecrira alors indiff´eremment 1 ) = a0 + a1 X + a2 X 2 + + an X n + X n ε(X) X ou f = a0 + a1 + a + + an n + n ε . [...]