Développements limités - approximation locale par des polynômes de fonctions définies sur R

Résumé du document

Dans tout ce chapitre, nous considérerons des fonctions définies sur un sous ensemble de R et à valeurs dans R. L'objectif essentiel est l'approximation locale de ces fonctions par des polynômes.

Un premier résultat dans ce sens existe avec le polynôme de Taylor. Celui-ci permet déjà d'obtenir les développements usuels des fonctions
classiques. Ce résultat n'est pas la panacée ! Nous verrons que l'existence de dérivées successives en un point n'est pas toujours nécessaire pour obtenir les approximations cherchées.
De plus, même si elles sont définies, le calcul de ces dérivées successives n'est pas toujours de pratique facile. Il faudra donc mettre au point des techniques adaptées, ce sera l'objet du paragraphe suivant.
Pour l'instant, nous allons éclaircir la situation en posant une définition précise de ‘développement limité' et en examinant les propriétés élémentaires de cette notion.

Extraits

[...] De plus, même si elles sont définies, le calcul de ces dérivées successives n'est pas toujours de pratique facile. Il faudra donc mettre au point des techniques adaptées, ce sera l'objet du paragraphe suivant. Pour l'instant nous allons éclaircir la situation en posant une définition précise de ‘développement limité' et en examinant les propriétés élémentaires de cette notion. Définition et Premiers résultats. Soit f une fonction définie sur le sous ensemble I de R à valeurs dans x0 un réel adhérent à et n un entier donné. [...]

[...] _ Insistons sur le fait que l'on n'impose pas à P d'être de degré mais seulement de degré au plus n. Par exemple rien n'interdit d'avoir un développement limité dont la partie régulière serait identiquement nulle. Ce sera le cas si la fonction étudiée est un au voisinage de x0. si x non nul et est négligeable en 0 Ainsi la fonction f définie sur R par e devant toute puissance entière de x. Elle admet donc en 0 des développements limités de tout ordre dont la partie entière est le polynôme nul. [...]

[...] Il est donc intéressant de connaître les développements à l'origine des fonctions usuelles, ce qui s'obtient facilement avec le polynôme de Taylor en 0. Les principaux résultats sont résumés dans le tableau suivant. Pour les justifications on se reportera aux formules explicitant les dérivées d'ordre quelconque des fonctions en question, et on examinera leurs valeurs en = 1 x + x + . + n x n + x n ) x xn + a = 1 + ax + a + . [...]

[...] (Si l'une des deux parties régulières est nulle, l'étude se simplifie d'autant puisqu'un des restes disparaît ) En conclusion on obtient un D.L d'ordre d compris entre n et 2n. _ Par exemple si a0 et b0 sont non nuls, d sera égal à n _ Le cas extrême d=2n est obtenu si r=q=n ou si une des deux parties régulières est nulle et l'autre de valuation ou enfin si P=Q=0. _ Tous les autres cas intermédiaires sont possibles, suivant les valeurs de r et q. [...]

[...] Par différence on en déduit immédiatement qu'au voisinage de x0 : Si P-Q n'est pas identiquement nul, on sait alors que cette différence est équivalente en 0 à son terme de plus bas degré, soit un monôme du type ckX k avec k=valuation Il vient donc, au voisinage de x0 : ck(x-x0)k= , ce qui est impossible vu que k est inférieur à n. En effet, en divisant par (x-x0)k pour x (ce qui est possible car x0 est supposé adhérer à on obtiendrait ck=o((x-x0)n-k) , égalité incompatible avec ck non nul. Ainsi on a nécessairement P=Q . On pourra donc parler sous réserve que la décomposition soit possible, du développement limité à l'ordre n de f en x Le polynôme x aP(x-x0) sera appelé partie régulière de ce développement et le terme en sera le reste. [...]