Comparaison et étude locale des fonctions

Résumé du document

(1) Si f dominée par une fonction bornée au voisinage de a alors f est bornée au voisinage de a.
(2) Si f est dominée au voisinage de a par une fonction qui tend vers 0 en a (respectivement négligeable devant une portion bornée au voisinage de a) alors f tend vers 0 en a (...)

Extraits

[...] x donc ln g car ln x g e1 Nounours III) Développements limités : Définitions et propriétés : Définition 1 : n∈ℕ f définit au voisinage D de on dit que : f admet un développement limité à l'ordre n en 0 (ou DL n ) s'il existe polynôme tel que deg et D : f x x x ou a n tel que f x u k x k x n x k=0 n ou f x . n x n x Exemple : f :ℝ 1 On sait que x . x 2 n n . x si 1 x . [...]

[...] ln x et x x3 D'après Si car x et évident si Chapitre 2 : Comparaison et étude locale des fonctions Si 1 x Nounours alors X ; si X donc x x 0 X Pour ' x si y=e x x=ln y x = d'après d'où. x x x donc x ' après proposition Puis phrase a reprendre . ] II) Équivalence de fonctions : Définition 2 : Soient f et g définie sur D au voisinage de a. [...]

[...] Chapitre 2 : Comparaison et étude locale des fonctions Nounours Chapitre 2 : Comparaison et étude locale des fonctions Fonctions négligeables, fonctions bornées : Soit a et f et g continues en a g définies sur D un voisinage de a ; si a D on supposera f et Définition 1 : On dit que f est négligeable devant g un voisinage de a s'il existe une f x x avec fonction définie sur D tel que D x On note f g . [...]

[...] 3 x R et S des polynôme où R est obtenue en prenant dans P.Q les termes de degré , la somme des autres étant donc factorisable par x d'où f x g x n x.S x Composition de DL : Soient I J et I Si f et f et g ont des DL n de parties régulières P et Q alors g f à un DL n dont on obtient la partie régulière R en tronquant le polynôme P au degré n Démonstration : admis 9 Chapitre 2 : Comparaison et étude locale des fonctions Exemple : f x sin x DL 3 de f x sin x x u=sin x u2 u3 or e u3 x x x3 x x x x x 2 x 3 x 3 Nounours e sin x x 1 x 2 x 2 Quotient de DL : Si u à un Si f et DL n et u alors u x g ont des DL n et 1 aussi 1 f aussi g g alors g Démonstration : 1 g a une DL n et u aussi Donc d'après la proposition de la composition de DL , u aussi g u avec f f g = posons u x et g g g 1 v u x alors d'après la proposition v x a un f f 1 DL n et = f x aussi d'où aussi g g g d'après le proposition sur le produit. Intégration et dérivation de DL : Si f sur I et f ' a un DL n de partie régulière alors f a un DL de partie régulière. La primitive de valent f en 0. Si f sur I contenant 0 et P la partie régulière du un DL n de partie régulière P'. [...]

[...] x 1 n On a aussi (admis) : a ; x [ ou ] x ; a [ tel que f ' f n f x f . ! x 1 n Comme f est C alors f est continue et bornée au voisinage de a par un réel M d'où n f k f x x k M k n f k f x D'où k=0 Démonstration : En particulier : Les DL classiques : fC au voisinage de a n f a un DL n 8 Chapitre 2 : Comparaison et étude locale des fonctions Par application du théorème de Taylor Young en on a : Nounours xn e x n k=0 n ! [...]