Le développement limité

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Cours de maths niveau prépa - Le développement limité

Extraits

[...] On obtient facilement : Du développement classique on tire pour au voisinage de 0. Le numérateur de la fraction étudiée se simplifie alors sous la forme , expression équivalente en 0 à ou encore à puisque est équivalent à à l'origine. La fraction étudiée est donc équivalente en 0 au quotient de par x4, ce qui conduit à Ramenons nous à une étude à l'origine grâce au changement de variable On a alors or au voisinage de et On en déduit et par suite : 9. [...]

[...] (Si l'une des deux parties régulières est nulle, l'étude se simplifie d'autant puisqu'un des restes disparaît ) En conclusion on obtient un D.L d'ordre d compris entre n et 2n. _ Par exemple si a0 et b0 sont non nuls, d sera égal à n _ Le cas extrême d=2n est obtenu si r=q=n ou si une des deux parties régulières est nulle et l'autre de valuation ou enfin si P=Q=0. _ Tous les autres cas intermédiaires sont possibles, suivant les valeurs de r et q. [...]

[...] Au voisinage de 0 on connaît le développement classique : . On en déduit : et En remplaçant X par dans la première formule puis par dans la suivante on obtient après élimination des termes du produit négligeables devant x4 : Remarquons que la partie régulière du dénominateur est de valuation Il faudra donc pousser le développement des termes de la fraction jusqu'à l'ordre 5 car la simplification du facteur commun fera chuter de 2 l'ordre des restes. Dans le développement classique au voisinage de 0 : effectuons alors la substitution . [...]

[...] Dans tout ce chapitre nous considérerons des fonctions définies sur un sous ensemble de R et à valeurs dans R. L'objectif essentiel est l'approximation locale de ces fonctions par des polynômes. Un premier résultat dans ce sens a été établi dans la leçon sur la dérivation, lors de l'étude du polynôme de Taylor. Celui ci permet déjà d'obtenir les développements usuels des fonctions classiques. Ce résultat n'est pas la panacée ! Nous verrons que l'existence de dérivées successives en un point n'est pas toujours nécessaire pour obtenir les approximations cherchées. [...]

[...] Soit f et g deux fonctions définies sur un même ensemble admettant chacune un D.L n en 0. Sommes, combinaisons linéaires. Avec les notations précédentes on obtient immédiatement par sommation, au voisinage de 0 : car la somme de deux fonctions négligeables devant xn est encore négligeable devant xn. De même en multipliant f par la constante réelle ( on a aussitôt : ( Produits. Toujours avec les notations initiales, mais en utilisant ici les parties régulières, on obtient au voisinage de 0 : est un polynôme de degré au plus 2n. [...]