La détermination de la loi d’une variable définie à partir d’une autre variable

Thèmes abordés

Variable, cas discret, cas continu, variable aléatoire, changement de variable

Résumé du document

On suppose donnée X, une variable aléatoire (discrète ou continue) sur (
,
,PI ) dont connaît la loi.
On se pose le problème d'arriver à déterminer la loi d'une variable Y définie à partir de X : Y = φ(X).
Il arrive souvent que ce ne soit pas la variable X qui nous intéresse (nous renseigne), mais transformation de celle-ci ; d'où la nécessité d'arriver à déterminer la loi de la nouvelle variable Y.

Extraits

[...] Chapitre 6 Détermination de la loi d'une variable définie à partie d'une autre variable 49 Méthode 1 : Déterminer ) = IR : ƒY(y) > Si ) = IR : ƒX(x) > = ; ; alors ) = φ(]a ; = ; Méthode 2 : Déterminer FY à partir de la loi de X (de sa fonction de répartition. y IR : FY(y) = IP(Y = IP(φ(X) ; = IP(X ; NB : Il se peut que ; = ; et dans ce cas, pour le par IP(X = 0 FY(y) = 0. [...]

[...] On l'obtient par dérivation à l'aide du théorème précédent. Exemple : X ~ ( ƒX(x) = 1 et FX est non explicite. 2π Y = = φ(X) φ(x) = Déterminons la loi de Y. y IR, FY(y) = IP(Y ; = IP(X ; Or, ; = IR : y ; si y 0 si y [...]

[...] Chapitre 6 : Détermination de la loi d'une variable définie à partir d'une autre variable I Problématique II Cas discret On suppose que X est une variable discrète de loi : ) = {xi ; i IP(X = xi) = i I On définit Y = φ(X). Problématique : Trouver la loi de Y. Hypothèse : On suppose que est telle que Y est également une variable discrète Probabilités et Statistique Méthode 1 : Déterminer ) = ω } = ω } = ω } = i = {yj : i I / φ(xi) = yj, j Méthode 2 : Déterminer la loi de Y. [...]

[...] On dérive FY (forme explicite) pour obtenir ƒY. y FY est dérivable : ƒY(y) = y Pour y = FY est éventuellement non dérivable, et on pose ƒY(0) = 0 si y 0 Conclusion : ƒY(y) = y si y > 0 e et on continue le On reconnaît la densité d'une loi ℰ Y ~ ℰ (λ). Théorème de changement de variable Théorème : Soit X une variable (aléatoire réelle) continue de densité ƒX telle que : si x ; ƒX(x) = si x ; a [...]

[...] Chapitre 6 Détermination de la loi d'une variable définie à partie d'une autre variable 51 FX(1 e y y si 1 y 0 λ y y 0 y si 1 e 0 y y si 0 1 e 1 = e si 0 1 y 1 y 0 ) = e y si 1 e 1 si 1 y 1 y 0 impossible si y 0 FY(y) = FX(1 = y si y 0 e On va faire semblant de ne pas reconnaître la fonction de répartition de la loi ℰ cas b). [...]