Cours de Maths prépa MPSI sur les déterminants

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau prépa MPSI (Mathématiques, Physique et Sciences de l'Ingénieur) sur les déterminants. Cours détaillé suivi d'une série d'exercices types corrigés.

Extraits

[...] Exercices sur les Déterminants. Solutions. Convention générale : Pour simplifier la rédaction, chaque fois qu'une manipulation de type Gauss conduit à la mise en facteur d'un scalaire ( dans une colonne ou une ligne, nous ne mentionnerons pas la factorisation évidente de ( dans le déterminant étudié déduite de la multilinéarité Pour le premier déterminant, les manipulations sur colonnes conduisent d'abord à On conclut par Pour le deuxième on peut commencer par la séquence On poursuit avec soit, en développant suivant la dernière ligne : 2. [...]

[...] _ S formé des termes tels que i et n (n+p. On peut écrire en abrégé Théorème. Si l'un des deux blocs rectangulaires T ou S de la décomposition précédente est nul, alors le déterminant de la matrice composée M est égal au produit des déterminants de ses deux blocs carrés A et B. ( det(M)=det(A).det(B) Ici encore, grâce au résultat sur la transposition il suffit de traiter le cas où T est nul. La démonstration s'effectue alors facilement par récurrence sur n. [...]

[...] L'intervention de cette notation permet de formuler de façon plus pratique la relation de définition par récurrence des déterminants généraux. En effet le déterminant d'ordre n noté dans la démonstration : n'est autre que le déterminant de la matrice carrée Ai obtenue à partir de A en supprimant la première colonne et la ligne d'indice i. La construction se résume alors à : Formule dite du développement suivant la première colonne de A. Déterminant d'un endomorphisme. Soit u un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension n et B une base de E. [...]

[...] Soit N une matrice carrée d'ordre n nilpotente. Montrer que N est semblable à une matrice triangulaire supérieure dont tous les éléments diagonaux sont nuls. On pourra procéder par récurrence sur l'ordre de nilpotence de N c'est à dire le plus petit entier k tel que N k=0. En déduire que pour une telle matrice on a det(In+N)=1. Soit N nilpotente et A une matrice carrée inversible de même taille et commutant avec N . Montrer en utilisant ce qui précède que det(A+N)=det(A) Soit f un endomorphisme d'un C-espace vectoriel E de dimension n tel que f 3-IE soit non injectif. [...]

[...] Il reste donc l)det(A(1, k)det(A(1, Examinons ces deux déterminants résiduels. Si on note C1,C ,Cn les colonnes de A privées du coefficient relatif à la première ligne on a : det(A(1, l))=det(C1,C2, ,Cl-1,Cl+1, Ck-1,Ck . det(A(1, k))=det(C1,C2, ,Cl-1,Cl , ,Ck-1,Ck+1, .,Cn) On passe donc puisque Cl=Ck de la première matrice à la seconde en échangeant successivement la colonne Ck avec chacune des k-l-1 colonnes la précédant. Vu l'alternance, on en conclût : det(A(1, et par suite puisque les coefficients et coïncident. [...]