Déterminants et inversion de matrice

Résumé du document

Les déterminants furent introduits en Occident à partir du XVIe siècle, soit bien avant les matrices qui n'apparaissent qu'au XIXe siècle. Les Chinois sont par ailleurs, les premiers qui utilisèrent des tableaux de nombres avec l'application d'un algorithme connu sous le nom de procédé d'élimination de Gauss-Jordan.

À l'origine, le déterminant se voulait déterminer l'unicité de la solution d'un système d'équations linéaires, il apparaît dans le cas de systèmes de taille 2 par Cardan en 1545 dans Ars Magna, cette formule porte le nom de regula de modo.

L'apparition de déterminants de taille supérieure demande près de cent ans et les premiers exemples viennent de Kowa Seki et Leibniz, qui donnèrent en même temps les premiers exemples.

Après plusieurs années de réflexion, de manipulation mathématiques, Cayley, Hamilton et Sylvester étudient les structures de matrices et ces fameux tableaux de nombres apparaissent enfin.

Extraits

[...] Lefebvre Corentin Déterminants et inversion de matrice Calcul de l'inverse grâce à un système : Soit ; v ; w ) ! 3 : + z = u x u + z = u A y = v + z = v + z = v z w = + w + 2z = w On obtient ainsi un système triangulaire à coefficients diagonaux non Cramer. Ainsi A est inversible : x u = 2u = u + v y = v z w = + w Donc = . [...]

[...] Lefebvre Corentin Déterminants et inversion de matrice Définition : Pour n , on appelle matrice identité d'ordre n la matrice carrée de taille ; : ! 0 ! 0 In = " ! # " 0 ! ! 1 Exemple : Pour n = 2 : I2 = Pour n = 3 : I 3 = Propriété : + est commutative : B + est associative : + + C = A + + + admet un élément neutre : 02 ; 3 = A + 02 ; 3 = A Tout élément de M 2 ; 3 admet un élément symétrique pour + : = 02 ; 3 A+B=B+A x + a y z + c A+B a b c d e f t + d u v + f élément symétrique de A En posant : = Lefebvre Corentin Déterminants et inversion de matrice Propriété : Pour tout ; B ) M 2 ; 3 K 2 et (λ ; µ) K on a : (λµ) A = λ (Aµ) (λ + µ) A = λA + µA ( ) λ + B ) = λA + λB = A 0 A = 02 ; 3 Erreurs à ne pas commettre avec le produit matriciel : Le produit matriciel n'est pas commutatif, AB BA même si les produits AB et BA ont la même taille. [...]

[...] Lefebvre Corentin Déterminants et inversion de matrice Quelques définitions, théorèmes et propriétés sur les matrices : Au niveau des matrices : Définition : Une matrice de taille ; dont les éléments sont dans K : a 1 ; 1 a1 ; 2 a 2 ; 1 a2 ; 2 " " a j ; 1 aj ; 2 " " a n ; 1 an ; 2 à coefficients dans K est un tableau rectangulaire a1 ; 3 a2 ; 3 " aj ; 3 " an ; 3 ! a1 ; j ! a2 ; j " " ! aj ; j " " ! an ; j ! a1 ; p . [...]

[...] On fait la somme de ces résultats. Et c'est parti pour la partie intéressante ! Lefebvre Corentin Déterminants et inversion de matrice Soit A = : Je choisis de faire mon expansion le long de la première rangée, ainsi, j'obtiens le déterminant : det = a1 ; 1C 1 ; 1 + a1 ; 2C 1 ; 2 + a1 ; 3C 1 ; 3 Autrement (pour rigoler) je peux faire mon expansion le long de la deuxième colonne, et ainsi j'obtiendrai : det = a1 ; 2C 1 ; 2 + a 2 ; 2C 2 ; 2 + a 3 ; 2C 3 ; 2 Et nous trouverons que ces deux déterminants sont égaux, du fait d'une propriété importante de celui-ci, c'est que le déterminant est unique. [...]

[...] Calcul de chaque matrice mineure de cette transposée : M1 ; 1 = = 2 ; M1 ; 2 = = 0 ; M1 ; 3 = = M 2 ; 1 = = ; M 2 ; 2 = = 1 ; M 2 ; 3 = = M 3 ; 1 = = ; M 3 ; 2 = = 0 ; M 3 ; 3 = = On a alors la matrice suivante : On fusionne avec cette matrice : + + + + + Et on obtient enfin : A 1 = 1 - 10 - Lefebvre Corentin Déterminants et inversion de matrice 3. Etude d'un cas : Matrice ; : Soit M = . Calculer l'inverse de cette matrice. Aide pour une difficulté : À un moment, il faudra calculer le déterminant d'une matrice ; et donc cela nécessite la méthode cité ci-dessus ! (Il y aura beaucoup de calculs . [...]