La dérivée d’une fonction en un point

Résumé du document

Ce document évoque sous forme de cours la définition et les applications de la dérivée d'une fonction en un point. Extraits : "La situation des exemples a et b vus au paragraphe 4.1 est différente : dans le premier cas il y a une limite à droite et une limite à gauche différentes, dans le second cas il n'y a ni limite à droite ni limite à gauche. On dit dans le cas de l'exemple a que la fonction a une dérivée à droite et une dérivée à gauche en 0."

"On considère un intervalle I, un point de I intérieur à I et f une application de I dans R. On dit que f admet un extremum local en Xo, s'il existe un intervalle ouvert I(x0) centré en Xo, tel que, pour x appartenant à I(x0 ), (x) − (x0f f ) garde un signe constant. Il s'agit d'un minimum si f(x) − (x0) ≥ 0, d'un maximum si f ( − (x0Il s'agit d'un minimum si f ( f x) f ) ≤ 0."

Extraits

[...] Définition. On dit que f admet un extremum local en x s'il existe un intervalle ouvert I(x 0 ) centré en x 0 tel que, pour x appartenant à I(x 0 ) , f f 0 ) garde un signe constant. Il s'agit d'un minimum si f ( f 0 ) d'un maximum si f ( f 0 ) L'annulation de la dérivée, qui entraîne que le graphe a une tangente horizontale, donne une condition nécessaire pour qu'il y ait un extremum local. [...]

[...] Composition des applications. Soient f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en point x 0 de g une fonction définie sur un intervalle J contenant f 0 ) et non réduit à un point, dérivable en f 0 ) . Alors g o f est dérivable en x 0 et o f (x0 ) = f 0 o f 0 ) Preuve. On pose u = f (x0 ) suivantes et h étant tels que La dérivabilité des fonctions f et g se traduit par les égalités x0 + h appartiennent à I et u0 + k à : f 0 + f (x0 h 0 ε et g(u0 + k g(u0 ) = k (u0 ) + ε 2 avec limε1 ) = limε 2 ) = 0. [...]

[...] De même, HP = f 0 représente la variation de la fonction affine x a f 0 f 0 x 0 ) quand x varie de x 0 à x 0 + h . L'égalité PM = f 0 + f 0 hf (x0 hε avec lim ε ) = 0 montre alors que la x0 tangente est effectivement la droite qui approche le mieux le graphe de f au voisinage de x De la condition on déduit immédiatement la proposition : Proposition. Si la fonction f est dérivable en x alors elle est continue en x Attention. La réciproque est fausse comme le montrent les exemples suivants. Exemples a. [...]

[...] la réciproque est fausse : il suffit de considérer la fonction x a x 3 au point 0. [...]

[...] On a en effet : x x = 1 si x > = si x [...]