Dérivation des fonctions à valeurs réelles

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Cours de Mathématiques sur la dérivation des fonctions à valeurs réelles : propriétés sur la dérivation, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, notion de convexité, dérivées d'ordre supérieurs, formule de Leibniz.

Extraits

[...] Exercice 4 Montrer qu'il existe une unique fonction f C 1 telle que = 1 = x. 2 On admet que f C R). Calculer le développement limité de f en 0 à l'ordre 5. IV.4 IV Fonctions de classe C k par morceaux définitions Définition IV.7 Une application f à valeurs dans R est dite C k par morceaux sur un segment où 1 k s'il existe une subdivision ap ) de telle que la restriction de f à chacun des intervalles ]ai , ai+1 [ soit prolongeable en une fonction de classe C k sur [ai , ai+1 Les dérivées successives de f sont donc définies sur privé d'une partie finie, elles sont notées Dj f ou . [...]

[...] La fonction x x est continue sur , mais pas de classe C 1 par morceaux. La fonction x x 1 3 est de classe C 2 sur et de classe C 3 par morceaux (et même de classe C par morceaux). IV Théorème Théorème IV.9 Si f est continue sur un intervalle I et si f est C 1 par morceaux sur f est constante si et seulement si Df = 0. Exercice 5 Montrer que arccossin est continue et C 1 par morceaux sur R. [...]

[...] Alors (voir figure m3 [...]

[...] df Elle est bien entendu notée f , ou Df, ou . dx Conséquence : Toute fonction dérivable en a est continue en a ; (Réciproque fausse). Remarque : Si f est dérivable en alors le graphe de f admet une tangente au point qui a pour pente f C'est la droite d'équation y = + a)f Définition I.3 Une fonction f est dite de classe C 1 sur I si elle est dérivable sur I et si f est continue. [...]

[...] Révisions de sup : Dérivation des fonctions à valeurs réelles Spé PC* 2009-2010 Dans tout le chapitre, I désignera un intervalle de R (non vide, non réduit à un point) et a un point de I. I Définitions Définition I.1 On dit que f est dérivable (resp. dérivable à gauche, resp. dérivable à droite) f(a + en a si le rapport admet une limite finie quand h tend vers zéro (resp. quand h h tend vers zéro par valeurs inférieures, resp. par valeurs supérieures). La limite est appelée vecteur dérivé de f en a (resp. vecteur dérivé à gauche, resp. [...]