La dérivation - dérivabilité en un point, fonctions dérivables, convexité et point d'imflexion

Thèmes abordés

Dérivation, Ddérivabilité en un point, fonctions dérivables sur un intervalle, dérivées successives d'une fonction, convexité, points d'inflexion

Résumé du document

Attention, la reciproque est fausse. Par exemple, la fonction x : x3 a un nombre derive nul en 0, mais n'admet pas d'extremum en 0.
Cette propriete ne s'applique pas sur les bornes d'un intervalle ferme. En eet, une fonction peut avoir un extremum en l'une des bornes de l'intervalle sans que le nombre derive en ce point soit nul.

Extraits

[...] e e e f f f g fg est d´rivable sur I et e = . Alors g g g2 Th´or`me 2.3 Soit f une fonction d´rivable sur I et soit g une fonction d´rivable sur f Alors e e e e g f est d´rivable sur I et f ) = f ) f . e 2 Remarque : La plupart des fonctions usuelles seront d´rivables elles sont d´finies, ` l'exe a u e a ception notable des fonctions racine (non d´rivable en valeur absolue (non d´rivable en et e e partie enti`re (non d´rivable (car non continue) en tout point de Z). [...]

[...] Th´or`me 2.5 Soit f une fonction continue sur et d´rivable sur b[. e e e Si la fonction f admet une limite ` gauche au point alors f est d´rivable en b et f = . a e f f Si la fonction f admet une limite infinie en alors lim = lim f Th´or`me 2.6 Soit I un intervalle, x0 I et f une fonction continue sur d´rivable sur I } e e e et telle que sa d´riv´e soit continue sur I \ {x0 Si f admet une limite r´elle en x alors f est e e e d´rivable en x On a alors f (x0 ) = lim f et donc f est continue sur I. [...]

[...] La fonction f : x est de classe C sur . Elle est donc n(n + + . + p = n+p Ap d´rivable p fois et f = e n+p x x 3.2 Op´rations sur les fonctions de classe C p e Th´or`me 3.1 Soit p N e e Soient f et g deux fonctions de classe C p sur I et λ alors les fonctions λf, f + f g sont de classe C p sur I. f Soient f et g deux fonctions de classe C p sur I telles que g ne s'annule pas sur alors g est de classe C p sur I. [...]

[...] e e e D´finition 3.2 Soit p . e On dit qu'une fonction f est de classe C p sur I lorsque f est d´rivable p fois sur I et si f e est continue sur I. e e On dit que f est de classe C sur I lorsque f admet des d´riv´es de tout ordre sur I. Remarques : Pour que f soit d´rivable p fois sur il faut que toutes les d´riv´es successives de f e e e pour k existent et soient d´finies sur I. [...]

[...] e e e e D´finition 3.1 Soit p . On d´finit, lorsqu'elle existe, la d´riv´e d'ordre p de (ou d´riv´e e e e e e e dp f i`me e ) par r´currence : f = e ) avec f = f. p not´e f e (ou dxp Remarques : Si f est une fonction deux fois d´rivable sur alors f existe et est d´rivable, donc continue e e sur I. Par suite, si f est deux fois d´rivable sur f est (au moins) C 1 sur I. [...]