Dénombrement - publié le 14/10/2009

Résumé du document

Exemple : on choisit p boules dans une urne composée de n boules distinctes, numérotées de 1 à n. On veut déterminer le nombre d'issues possibles. Il faut distinguer 4 cas selon qu'on tire avec ou sans remise et selon qu'on tient compte ou non de l'ordre dans lequel les boules sont tirées.

Arrangements sans répétition : On tire sans remise et en tenant compte de l'ordre de tirage des boules.
Définition 1 : Soient E = {e1, . . . , en} un ensemble à n ≥ 1 éléments et p ∈ {1, . . . , n}.
Un arrangement sans répétition de p éléments de E ou p-liste sans répétition d'éléments de E est un p-uplet (ei1 , . . . , eip) ∈ Ep où les eij sont deux à deux distincts.

Extraits

[...] Définition 1 : Soient E = en } un ensemble à n 1 éléments et p { n}. Un arrangement sans répétition de p éléments de E ou p-liste sans répétition d'éléments de E est un p-uplet (ei eip ) E p où les eij sont deux à deux distincts. Proposition 1 : Le nombre des arrangements sans répétition de p éléments pris parmi n p n est : Ap = n(n . p + = n où on utilise la convention = 1. [...]

[...] Une permutation avec répétition de n éléments pris dans E où figurent k1 fois e kr fois er est un n-uplet (ei ein ) E n où figurent k1 fois e kr fois er . Proposition 5 : Le nombre de permutations avec répétition de n 2 éléments pris parmi E = er } où figurent k1 fois e kr fois er , avec k1 + k2 + + kr = n est : n k kr = k1 !k2 ! . kr ! = 10! . Exemple. Le nombre de permutations des chiffres est : p = = Γp n 2 Exemple. [...]

[...] Arrangements avec répétition : On tire avec remise et en tenant compte de l'ordre de tirage. Définition 4 : Soient E = en } un ensemble à n 1 éléments et p { n}. Un arrangement avec répétition de p éléments de E ou p-liste avec répétition d'éléments de E est un p-uplet (ei eip ) E p . Proposition 4 : Le nombre de p-listes avec répétition de n éléments est np . (Card(E p Card Exemple. Il y a 104 = 10000 codes possibles pour les cartes bancaires. [...]

[...] Définition 2 : Une permutation (sans répétition) d'un ensemble E de cardinal n 1 est un arrangement sans répétition des n éléménts de E. Proposition 2 : Le nombre de permutations de n éléments est = An . n Exemple. Le nombre de rangements de n livres sur une étagère est n!. Combinaisons sans répétition : On tire sans remise et sans tenir compte de l'ordre de tirage. Définition 3 : Soient E = en } un ensemble de cardinal n 1 et p { n}. [...]