Démonstrations mathématiques (Bac S)

Résumé du document

Soit g la fonction telle que g(x) = exp(x).exp(-x) et que exp'(x) = exp ainsi que exp(0) = 1 ;
g'(x) = exp(x).exp(-x) + (-exp(x).exp(-x)) = exp(x).exp(-x) ? exp(x).exp(-x) = 0.
Donc g'(x) = 0 pour tout x réel donc g est une fonction constante et cette constante est égale à g(0) = exp(0 ).exp(0) = 1, g(x) = 1 pour tout réel (...)

Extraits

[...] La suite u est croissante donc elle est minorée par et v est décroissante donc elle est majorée par Ainsi pour tout Donc la suite u est croissante et majorée par ; et la suite v est décroissante et minorée par . Donc les deux suites sont convergentes. De plus . Donc Nombres complexes Module. i. ii. iii de plus iv. Posons , alors Zz=z'. Donc , soit , donc . [...]

[...] La fonction exp est donc unique Propriétés algébriques de la fonction exponentielle : Soit a et b deux réls et g la fonction définie sur R par : = exp(a+b- x).exp(x). g'(x) = -exp(a+b-x).exp(x) + exp(a+b-x).exp(x) = 0 ; g est donc une fonction constante. Or = exp(a+b) et = exp (a+b-b).exp(b) = exp(a).exp(b). la fonction g est constante donc = donc exp(a+b) = exp(a).exp(b). En remarquant que a + = exp(0) = exp(a-a) = exp(a).exp(-a) = 1 donc exp(-a) = . Soit n un entier positif ; exp(n.a) = exp = exp(a).exp(a) . [...]

[...] Soit f une fonction dérivable en a ; alors existe et cette limite est égale à f'(a). Posons alors . Remarquons que donc donc donc f est continue en a. Suites numériques Si u et v sont adjacentes, avec u croissante et v décroissante, alors : pour tout n Posons . Et supposons qu'il existe un entier k tel que , autrement dit que . Or u est croissante donc est décroissante et comme v est décroissante, par somme w est décroissante. [...]

[...] = donc g est bien solution de Démontrons que toute autre solution de est de la forme = k où k est une constante réelle ; soit f une solution quelconque de : f'(x) = a.f(x) et posons = , définie sur R puisque Alors h'(x) = , donc pour tout h est constante et il existe un réel k tel que : Y' = aY + b Soit la fonction = , vérifions que g est solution de ; g'(x) = , donc g est bien solution de Démontrons que toute autre solution de est de la forme = , où k est une constante réelle ; soit f une solution quelconque de : et posons = . Alors h'(x) = f'(x) = a.f(x)+b = ] = a.h(x) pour tout donc la fonction h est solution de l'équation différentielle y' = ay. Il existe donc un réel k tel que : = k. [...]