La cryptographie affine

Résumé du document

La cryptographie est tout simplement l'art du codage et du décodage, elle sert donc à protéger des écrits ou des communications dans les domaines militaires, commerciaux ou privés ; ceux-ci étant pratiqués depuis longtemps. La cryptographie est donc âgée puisqu'elle naît dans l'Antiquité. Les codes anciens facilement déchiffrables ont dû au fur et à mesure du temps être améliorés afin de pouvoir assurer la confidentialité des messages, ainsi certaines techniques de codage n'existent que depuis quelques dizaines d'années. La cryptographie est donc une science ancienne mais néanmoins moderne car en perpétuelle évolution. Nous avons choisi de présenter ici un des plus anciens codages (il était déjà utilisé par Jules César), qui pose les bases de la cryptographie tout en restant relativement simple : la cryptographie affine.

Extraits

[...] Nous aurons ici besoinpp que des sommes et des produits: Les sommes: On peut ajouter ou soustraire les deux membres d'une congruence par un même entier. Et si l'on a et alors . Les produits: On peut multiplier les deux membres d'une congruence par un même entier mais pas diviser. Et si l'on a et alors . Pour la suite, nous allons avoir besoin des entiers premiers entre eux. On dit que a et b sont premiers entre eux si leur PGCD (Plus Grand Diviseur Commun) est égal à 1. [...]

[...] La cryptographie utilise de cette manière des clés afin de pouvoir protéger certaines informations, aujourd'hui, la cryptographie est surtout utile à l'informatique et aux ordinateurs qui gèrent la quasi- totalité des informations dans le monde que ce soit via internet ou des bases de données qui doivent être protégées, le besoin de la cryptographie assure donc encore son évolution et sa pérennité. Références bibliographiques * LEHNING Hervé. Cryptographie et codes secrets: l'art de cacher. POLE. Paris (Tangente, ISSN 1294-9949, n 26). [...]

[...] Par conséquent . Donc , on peut donc en déduire le tableau suivant: Lettre en clair A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T Lettre codée P K F A V Q L G B W R M H C X S N I D Y T O J E Z U Les lettres en clairs représentent ici les lettres du code qu'on reçoit et les lettres codées permettent de reformuler le message initiale. [...]

[...] Pour décoder un certain message, nous supposons connaître la clé, c'est à dire les nombre a et b. Nous allons donc chercher à découvrir cette fonction réciproque notée , cette fonction est aussi une fonction affine définie par deux nombres et elle est donc de la forme . On a donc la fonction composée définie par : et . On a donc : soit donc . Par conséquent et . Si est vérifiée, on a . Ainsi et sont réciproques si et seulement si et . [...]

[...] Nous allons ainsi nous demander ce qu'est la cryptographie affine. Pour répondre à cette interrogation il est d'abord nécessaire d'étudier les outils mathématiques qui nous permettrons ensuite de procéder au codage et enfin au décodage. Les outils mathématiques Aujourd'hui un code chiffré se traduit souvent par l'arithmétique, qui permet en effet de d'utiliser particulièrement les entiers relatifs ainsi que les nombres premiers, sur lesquels de nombreux anciens théorèmes peuvent être appliqués. En premier lieu nous allons aborder la notion de divisibilité, on dit que pour tous , a est divisible par b s'il existe un entier q tel que . [...]