La réduction d'endomorphismes et de matrices

Résumé du document

Fiche de mathématiques niveau Maths Sup PTSI résumant les réductions d'endomorphismes et de matrices : polynôme caractéristique d'une matrice et d'un endomorphisme, diagonalisation d'un endomorphisme, lien entre matrice trigonalisable et endomorphisme trigonalisable.

Extraits

[...] f est un endomorphisme de E. On a l'équivalence suivante : f est diagonalisable Û il existe une base de E formée de VECTEURS PROPRES de f. Réunion de bases de sous­espaces propres HYPOTHESES E est un K‐espace vectoriel de dimension n. f est un endomorphisme de E. l l p sont p valeurs propres de f DISTINCTES DEUX A DEUX. On note pour 1 k p Bk une base de E f k ) . Alors la famille L = "B1È ÈBp" est LIBRE. [...]

[...] f est un endomorphisme de E. r a)On dit qu'un scalaire l est une valeur propre de f si l'on a : Ker( f - l.id ) . Cela revient à écrire que f - l.id n'est pas injectif. b)Si l est une valeur propre de le sev de E suivant : E f ) = Ker( f - l .id ) est appelé le sous‐espace propre de f associé à la valeur propre l. r r r E f ) est donc l'ensemble des vecteurs u de E tels que f ) = l.u . [...]

[...] * ú ú l p úû Sur la diagonale de cette matrice, chaque valeur propre lk est répétée autant de fois que son ordre de multiplicité dans le polynôme caractéristique P f ) . Les coefficients situés en dessous de la diagonale sont tous nuls. HYPOTHESES A est une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans K. l l p sont LES p valeurs propres de A DISTINCTES DEUX A DEUX. SI A est trigonalisable dans M ALORS A est semblable à une matrice de la forme suivante : é l1 ê0 ê ê. ê ê. ê. ê ˆ = ê . A ê. ê ê. ê ê. [...]

[...] f est un endomorphisme de E. On a l'équivalence suivante : l0 est une racine de P f ( l ) Û l0 est une valeur propre de f. HYPOTHESES A est une matrice carrée d'ordre n. On a l'équivalence suivante : l0 est une racine de PA ) Û l0 est une valeur propre de A. Propriété sur les matrices semblables HYPOTHESES A et B sont deux matrices carrées d'ordre n. Si A et B sont semblables alors A et B ont le même polynôme caractéristique. [...]

[...] l l p sont LES p valeurs propres de f DISTINCTES DEUX A DEUX. SI f est trigonalisable, ALORS il existe une base B de E dans laquelle la matrice de f soit de la forme : é l1 ê0 ê ê. ê ê. ê. ê Mat(f, B ) = ê . ê. ê ê. ê ê. ê. ê êë 0 * . l l l * ù . úú . ú ú . ú . ú ú . [...]