Cours sur le produit scalaire dans le plan

Résumé du document

Cours de mathématiques sur le produit scalaire dans le plan. Le cours couvre l'ensemble des points essentiels du cours sur le produit scalaire et ses applications. Ce cours s'accompagne de nombreux exemples pour assimiler les formules théoriques ainsi que des conseils et des méthodes pour parfaire la connaissance et la maîtrise du cours.

Extraits

[...] D'où AI CI = 2 8 = Méthode 2 : Expression à l'aide des normes u = u+v u v Quand utiliser cette formule ? Lorsque l'on connaît (ou que l'on sait calculer) les normes des vecteurs u , v et u + v Cours Mathématiques Première S Produit scalaire dans le plan Méthode 3 : Expression à l'aide des angles u v = u v cos(u, Quand utiliser cette formule ? Cette formule est utile lorsqu'il s'agit de calculer le produit scalaire de deux vecteurs quand on connaît les normes des vecteurs ainsi que l'angle entre ces deux vecteurs. [...]

[...] Soit Or M ( y ) appartenant à ce cercle. Alors nous avons vu que : AM BM = 0 AM ( x y + et BM ( x + y + . AM BM = ( x x + + ( y + y + = x + 2 x + y + 7 y + 7 + 7 y + 7 = 0 D'où : L'équation du cercle de diamètre est donc : x + 2 x + 2.2 Relations métriques dans le triangle Formules d'Al-Kashi ) = b + c 2bc cos( ) = a + c 2ac cos( B ) ) = a + b 2ab cos(C ) Il s'agit des formules de Pythagore généralisées car celles-ci sont valables dans tous les triangles, qu'ils soient rectangles ou pas. [...]

[...] La carré scalaire d'un vecteur u est donc simplement le produit scalaire du vecteur u par luimême et est noté 2 u Cours Mathématiques Première S Produit scalaire dans le plan Les formules précédentes sont analogues aux identités remarquables sur les nombres réels et il est donc inutile de les apprendre par cœur Il faut donc retenir que le produit scalaire des vecteurs joue en quelque sorte un rôle similaire à la multiplication des nombres réels, en remplaçant la multiplication par un produit scalaire Norme d'un vecteur Soit u un vecteur du plan. Notons ( y ) ses coordonnées dans un repère orthonormé. = u = + y 2 On appelle norme du vecteur u , le nombre réel définit par : u Intuitivement, la norme d'un vecteur On a donc : 2 AB représente la longueur du segment AB. AB = AB et AB 2 = AB = AB AB Orthogonalité et produit scalaire Deux vecteurs u et v non nuls sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. [...]

[...] Si non, quelle est la nature de cet ensemble ? Pour répondre à ces questions, il faut être capable de faire la démarche inverse pour essayer d'écrire l'équation x + y + ax + bx + c = 0 sous la forme ( x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 = R 2 a b x + ax = ( x + et y + by = ( y + Pour cela on remarque que : Donc : a b a x + y + ax + bx + c = ( x + + ( y + + c = a b a ( x + + ( y + = + c Ce qui donne finalement : Trois cas peuvent se présenter : a a b a + Si + c > 0 alors : ( x + + ( y + = 2 On reconnaît alors l'équation d'un cercle de centre a b ) et de rayon R = a + Si a b a + c = 0 alors : ( x + + ( y + = a b et y = . [...]

[...] Alors on a la formule suivante : AB CD = AB C ' Comme précédemment, on est ainsi ramené au calcul du produit scalaire de deux vecteurs colinéaires. Cette expression peut également permettre de calculer la distance C'D' par la formule : C ' = AB CD (Pourvu que l'on soit capable de calculer d'une autre manière AB AC ) AB 6 Cours Mathématiques Première S Produit scalaire dans le plan 2. Applications du produit scalaire 2.1 Géométrie analytique Vecteur normal, vecteur directeur - Equations de droite Vecteur normal Un vecteur est dit normal à une droite si c'est un vecteur non nul dont la direction est orthogonale à la direction de la droite. [...]