Les probabilités et les lois statistiques - fonctions caractéristiques, loi exponentielle, loi de Gauss, Théorème central limite, Markov

Résumé du document

Cours sur les probabilités comprenant les probabilités discrètes, la loi binomiale et la loi de Poisson ainsi que celle des probabilités générales et le processus Markovien discret en temps et en valeur.

Extraits

[...] Dans le cas d'une variable aléatoire entière, cela signifie aussi . Théorème Paul Levy converge en loi vers X si et seulement si la fonction caractéristique converge vers . Théorème central limite Soit X tel que existe, et un échantillon. On suppose Soit . Alors converge vers la loi normale . Utilisation pratique du théorème central limite Soit une variable aléatoire X et un échantillon. - Pour , suit (approximativement) une loi normale . - Pour , suit (approximativement) une loi normale . [...]

[...] Alors il vient : donc - la fonction caractéristique Loi normale générale : On suppose que X suit et on pose , alors Y suit . De même il vient : donc - la densité s'écrit Théorème : Stabilité des lois normales Si Y1 suit , si Y2 suit et si Y1, Y2 sont indépendantes, alors suit avec . Moyenne de lois normales Y suit , et un échantillon. La moyenne suit , car . Couple Gaussien : X2) Hypothèses : X1 suit , X2 suit La densité de la loi du couple s'exprime : avec r le coefficient de corrélation Dans le cas d'un couple Gaussien, si et seulement si X1 et X2 sont indépendantes. [...]

[...] Probabilités générales Note : Seul le cas diffus est développé dans ce chapitre. Généralités On définit dans le cas diffus la probabilité pour la loi X : où représente la densité de la loi X. La densité vérifie la propriété fondamentale des probabilités : . L'espérance se définit, dans le cas diffus, comme suit : . Les propriétés restent les mêmes que pour les probabilités discrètes. La formule de transfert s'écrit: . La variance, la covariance et l'écart-type restent inchangés. [...]

[...] Cette fonction caractérise la loi et . On calcule : . Si X et Y sont indépendantes, alors . Loi binomiale et Loi de Poisson Loi binomiale de paramètre d et d'ordre n : Considérons une expérience pendant laquelle un événement A peut arriver avec la probabilité d. On répète cette expérience n fois de façon indépendante. X : nombre de fois où A s'est produit Y : indicatrice de l'événement A si A s'est produit sinon). Y1, Y Yn : échantillon de modèle Y. [...]

[...] Probabilités discrètes Généralités Espérance mathématique : On notera parmi les propriétés de E : - est linéaire la formule de transfert, - pour une variable aléatoire centrée. Variance : On donne les propriétés suivantes : X est constante si et seulement si . écart-type : On a : . Couple Loi conjointe et Loi marginale : La loi conjointe de est . Si , alors on dit que X est une loi marginale. Variables aléatoires indépendantes : X et Y sont indépendantes si . [...]