Cours de probabilités - notions de base, espérance, variance, loi normale, de Pareto, Student, Khi-deux

Thèmes abordés

cours, probabilité

Résumé du document

A tout événement, on peut associer son contraire tel que si A est réalisé Ā ne l'est pas , Ā est représenté dans Ω par la partie complémentaire de A .
On définit l'événement certain représenté par Ω tout entier et l'événement logiquement impossible par l'ensemble vide Ø .
Deux événements peuvent avoir des éventualités en commun.
L'ensemble des éventualités communes à A et B constitue un événement représenté par A∩B .
Si on réunit les éventualités de A et B on obtient un événement représenté par A U B .
On dit que l'événement A est réalisé si et seulement si l'une des éventualités constituant A est réalisée.
Deux événements A et B sont dits incompatibles si la réalisation de l'un exclut la réalisation de l'autre; ils ne se réalisent pas simultanément.
En terme d'ensemble, A∩B =Ø

Extraits

[...] X(Ω) = { 12} = = 5/36, 3/36, P(X=12)=1/36 On a bien Σ = 1 xεX(Ω) La fonction de répartition FX associée à une variable aléatoire X est la fonction définie sur IR à valeurs dans [ par : P où ωЄΩ / X(ω) Exemple : Reprenons l'exemple de l'expérience aléatoire qui consiste à lancer deux dés équilibrés et S la variable aléatoire qui compte la somme des points obtenus sur les deux faces. Déterminons la fonction de répartition associée à cette variable aléatoire. [...]

[...] Cours de probabilités Vocabulaire probabiliste Expérience aléatoire : Définition : Une expérience est qualifiée d'aléatoire si on ne peut prévoir à l'avance son résultat et si, répétée dans des conditions identiques,elle peut donner lieu à des résultats différents. On note Ω l'ensemble de tous les résultats possibles. EX: Prochaine cotation d'une valeur boursière. Exemple: Considérons l'expérience aléatoire qui consiste à lancer deux dés. On peut lui associer l'ensemble Ω de tous les couples x et y pouvant appartenir à l'ensemble { } ; autrement dit Ω est un ensemble à 36 éléments. Evénement : Définition : On appelle événement toute assertion ou proposition logique relative au résultat de l'expérience aléatoire. [...]

[...] Eléments d'analyse combinatoire Permutations: n = .1 Pour p≤n : p Arrangements: An = C'est le nb d'injections de Ep vers En p Combinaisons: Cn = n p Probabilité Définition : On appelle probabilité sur (Ω, une application P de C dans telle que : P ( Ω ) = 1 Pour tout ensemble fini ou dénombrable d'événements incompatibles (Ai)1≤i≤n on a : UAi ) =Σ P(Ai ) Propriétés : P(Ø) = 0 = P(AUB) = + – P(A∩B) UAi) Σ P(Ai) Si Ai → Ø , lim P(Ai) = 0 Définition : On appelle espace probabilisé le triplet (Ω, Cas où Ω est fini Ω = { ω1, ω ,ωn } n P (Ω) = Σ P i=1 = card( A)/card Ω Exercice1: Dans une classe de 36 élèves, quelle est la probabilité que deux élèves au moins fêtent leur anniversaire le même jour ? Exercice2 : Un sac contient 9 boules numérotées de1 à 9 On tire sans remise 3 boules du sac. Proba que les numéros des 3 boules forment le nombre 123? [...]

[...] On appelle probabilité conditionnelle de A sachant = P(A∩B)/P(B ) Propriété : Les événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B)=P(A).P(B) Proposition: Si A et B sont 2 événements indépendants, il en est de même de leurs contraires; de A et du contraire de de B et du contraire de A Remarque: L'application C → [ ] A→ est une probabilité sur (Ω, Exercice: Dans 1 population de la population ont une maladie M. On fait 1 tirage avec remise de 100 individus. 1)Probabilité qu'au moins 1 des individus ait la maladie M ? 2)Proba que le 1er individu malade soit le 5e ? Formules de Bayes 1ère formule de Bayes : P(A/B).P(B) Théorème des probabilités totales : Soit {Bi } 1≤ i ≤n un système complet d'événements et soit A un événement. [...]

[...] Exemple : Soit A l'événement « La somme des points obtenus lors du lancer de 2 dés est égale à » ; ; ; ; } Classe d'événements : A tout événement, on peut associer son contraire tel que si A est réalisé ne l'est pas , est représenté dans Ω par la partie complémentaire de A . On définit l'événement certain représenté par Ω tout entier et l'événement logiquement impossible par l'ensemble vide Ø . Deux événements peuvent avoir des éventualités en commun . L'ensemble des éventualités communes à A et B constitue un événement représenté par A∩B . Si on réunit les éventualités de A et B on obtient un événement représenté par A U B . On dit que l'événement A est réalisé si et seulement si l'une des éventualités constituant A est réalisée. [...]