Cours de mesure et intégration

Thèmes abordés

Mesure et intégration, mathématiques, anneaux de parties, espaces mesurables, intégrale de Lebesque

Résumé du document

Dans tout ce chapitre, X désigne un ensemble non vide, et P(X) l'ensemble des parties de X.

Extraits

[...] f(En )n2N 2 E N = A [n2N En g et P inff n2N (En ) = (En )n2N 2 E)g si ; = . sinon Proposition est une mesure extérieure sur X appelée la mesure extérieure engendrée par . Preuve: Il est clair que est une application de dans . ii) Prenons En 8n 2 N. Alors (En )n2N 2 E). Donc X 0 (En ) = c' à dire = 0. est n2N iii) Soient A B X. [...]

[...] Alors 9B 2 A tel que B et 0 on a kgk1 M1 D' après l' inégalité de Hölder, on a Z 8f 2 kf kp = 1 ) f gd kgkq . Donc Mq kgkq . X Par suite, Mq = kgkq et donc g 2 Lq ) 6.3 Les modes de convergence Dans ce paragraphe, est une mesure positive sur (fn )n2N est une suite de fonctions A - mesurables sur et f une fonction A - mesurable sur X Dé nition On dit que (fn )n2N converge en 8r 2 , on - mesure vers f lorsque lim (fx 2 X = jfn f rg) = 0. [...]

[...] Soit Z Z fn d X fd . X f , et En fx 2 X = fn 8n 2 N. Alors (En )n2N est une suite croissante d' éléments de A telle que: 8n 2 fn En 8n 2 Z En d X fn , et [n2N En = X. Donc Z fn En d X D' après la proposition 5:1:3 on Z lim En d = lim En X Z X d Z fn d . X (En ) = = Z d . [...]

[...] R - 8F 2 L1 ) nous donne que kF k1 = X jF j d 2 , et d' après R ) on a que: kF k1 = F = 0. - F ) 2 R L1 nous donne que R Z Z Z jcF j d = jcj jF j d = jcj jF j d = jcj kF k kcF k1 = X X X - 2 L1 ) 5:1:6 nous donne que R Z Z Z Z kF + Gk1 = jF + Gj d (jF j + jGj)d = jF j d + jGj d = kF k1 + kGk X X X Ainsi F kF k1 est une norme sur L1 R 56 X 8F 2 L1 ) on a R Z Fd d' après et X Z jF j d , d' après ) F Z Fd X X L' espace L1 ) L1 ) C Notation L0 L0 L0R + iL0R 8f 2 L0 ; ] fg 2 L0 = g = f - p.p.g Remarque 8f; g 2 L0 on ] = , [Re f ] = [Re et [Im f ] = [Im , ] = ( conjugaison ) Notations 8f 2 L on Re[f ] [Re f Im[f ] [Im f ] ] et j[f [jf j]. [...]

[...] Donc est Yn ) = (Xn ) (Yn ) [...]