Traitement Avancé du Signal : concepts basiques de la théorie des probabilités

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Licence introduisant au Traitement Avancé du Signal.

Extraits

[...] Une famille F de parties de tribu si elle vérifie les propriétés suivantes : i. est un élément de F Si A est un élément de alors Ac est un élément de F i. Stabilité par union dénombrable Si les ( An ) élément de F sont des éléments de alors ii. [...]

[...] où on a sur les n épreuves réalisées, l'évènement A apparaît na fois Parmi tous les entiers on a 2p sont divisibles par p En tout, on a donc n/p entiers divisibles par p P given number N is divisible by a prime / = lim n n p P given number is divisible by a prime = Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI p = p 6 Chapitre 1 : Concepts basiques de la théorie des probabilités 5 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 1 : Concepts basiques de la théorie des probabilités Probabilité : définition Définitions selon les axiomes de Kolmogorov Probabilité : définition Définitions selon les axiomes de Kolmogorov Espaces des épreuves (univers) : on note par Ω l'ensemble de tous les évènements possibles ξi connus a priori Deux sous-ensembles incompatibles) : A B mutuellement exclusifs (évènements Ω = { ξ ξ 2 ξ k B = φ, L'espace des évènements Ω contient des sous-espaces C À partir de 2 sous-ensembles A et on peut construire A A B A B A L'espace des évènements Ω est formé par des sous-espaces mutuellement exclusifs A1 Ai Aj = φ , and Ai = Ω. i A2 Ai An Aj B Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 B Chapitre 1 : Concepts basiques de la théorie des probabilités A Probability, Random Variables, and Stochastic Processes A. [...]

[...] B Ai ) Ai ) B Ai ) Ai ) = n Ai = B Ai ) Ai ) i Les évènements A A2 An sont dits des hypothèses et sont les causes de l'évènement B Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 1 : Concepts basiques de la théorie des probabilités 21 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 1 : Concepts basiques de la théorie des probabilités 22 Théorème de Bayes - Probabilités des causes Conclusion Exemple : 1 L'évènement constaté A est donc la présence d'une pièce défectueuse et les causes sont les machines M1 et M2. [...]

[...] Papoulis & S. U. Pillai, ©2000, McGraw-Hill Probability, Random Variables, and Stochastic Processes A. [...]

[...] Cette probabilité est appelée probabilité conditionnelle de B sachant A et se note A A = Chapitre 1 : Concepts basiques de la théorie des probabilités 14 (Il y a égalité si et seulement si les évènements An sont deux à deux mutuellement exclusifs) Corollaire 6 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Si A alors P ( P ( B ) Chapitre 1 : Concepts basiques de la théorie des probabilités 13 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Probabilité conditionnelle Probabilité conditionnelle Propriétés Ainsi, on a : A = A 0 > 0 Si B alors A et par conséquent : A = A = P (Ω B ) = P (Ω B ) P ( B ) = = Exemple : lancement d'un dé : Supposons A C = on peut montrer que : A = {outcome is even}, B ={outcome is P ( A B ) P(C B ) A C = + = P ( A B ) + P(C La probabilité conditionnelle satisfait tous les axiomes de Kolmogorov, il s'agit bien donc d'une probabilité Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Si A alors A et par conséquent : A = P ( A B ) P ( = > A). Chapitre 1 : Concepts basiques de la théorie des probabilités 15 Traitement Avancé du Signal Mohamed Lassaad AMMARI 2009 Chapitre 1 : Concepts basiques de la théorie des probabilités 16 Probabilité conditionnelle Propriétés Probabilité conditionnelle Propriétés Formule de Bayes A = P ( B P ( A A2 An des évènements mutuellement exclusifs Soient deux à deux et que leur union forme l'univers Ω : Ai A j = j on dit alors que A = Ω. [...]